Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14514 / 21680
↖ ↑ ↗
← S 50.176898°
W 20.544434°		 ← 782.36 m → S 50.176898°
W 20.533447°		 →
↑
782.30 m
↓
↑
782.30 m
↓
S 50.183933°
W 20.544434°		 ← 782.25 m →
611 992 m²		 S 50.183933°
W 20.533447°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14514 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21680 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.442947387695312 y=0.661636352539062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.442947387695312 × 215)
    floor (0.442947387695312 × 32768)
    floor (14514.5)     		tx = 14514
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.661636352539062 × 215)
    floor (0.661636352539062 × 32768)
    floor (21680.5)     		ty = 21680
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14514 / 21680 ti = "15/14514/21680"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14514/21680.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14514 ÷ 215
    14514 ÷ 32768     		x = 0.44293212890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21680 ÷ 215
    21680 ÷ 32768     		y = 0.66162109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.44293212890625 × 2 - 1) × π
    -0.1141357421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.35856801
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.66162109375 × 2 - 1) × π
    -0.3232421875 × 3.1415926535     		Φ = -1.01549528155127
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35856801} λ = -0.35856801}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.01549528155127))-π/2
    2×atan(0.362222983036871)-π/2
    2×0.347522123073404-π/2
    0.695044246146807-1.57079632675     		φ = -0.87575208
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35856801} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.544434°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.87575208 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -50.176898°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14514 KachelY 21680 -0.35856801 -0.87575208 -20.544434 -50.176898
    Oben rechts KachelX + 1 14515 KachelY 21680 -0.35837626 -0.87575208 -20.533447 -50.176898
    Unten links KachelX 14514 KachelY + 1 21681 -0.35856801 -0.87587487 -20.544434 -50.183933
    Unten rechts KachelX + 1 14515 KachelY + 1 21681 -0.35837626 -0.87587487 -20.533447 -50.183933
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.87575208--0.87587487) × R
    0.000122789999999928 × 6371000     		dl = 782.295089999543m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.87575208--0.87587487) × R
    0.000122789999999928 × 6371000     		dr = 782.295089999543m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35856801--0.35837626) × cos(-0.87575208) × R
    0.000191749999999991 × 0.640419422818882 × 6371000     		do = 782.361503377853m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35856801--0.35837626) × cos(-0.87587487) × R
    0.000191749999999991 × 0.640325112156499 × 6371000     		du = 782.246289770992m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.87575208)-sin(-0.87587487))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.640419422818882-0.640325112156499)×R²
    abs(-0.35837626--0.35856801)×9.43106623835233e-05×R²
    0.000191749999999991×9.43106623835233e-05×6371000²
    0.000191749999999991×9.43106623835233e-05×40589641000000     		ar = 611992.497947214m²