Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14514 / 20440
↖ ↑ ↗
← S 40.647304°
W 20.544434°		 ← 926.90 m → S 40.647304°
W 20.533447°		 →
↑
926.85 m
↓
↑
926.85 m
↓
S 40.655639°
W 20.544434°		 ← 926.78 m →
859 045 m²		 S 40.655639°
W 20.533447°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14514 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20440 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.442947387695312 y=0.623794555664062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.442947387695312 × 215)
    floor (0.442947387695312 × 32768)
    floor (14514.5)     		tx = 14514
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.623794555664062 × 215)
    floor (0.623794555664062 × 32768)
    floor (20440.5)     		ty = 20440
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14514 / 20440 ti = "15/14514/20440"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14514/20440.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14514 ÷ 215
    14514 ÷ 32768     		x = 0.44293212890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20440 ÷ 215
    20440 ÷ 32768     		y = 0.623779296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.44293212890625 × 2 - 1) × π
    -0.1141357421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.35856801
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.623779296875 × 2 - 1) × π
    -0.24755859375 × 3.1415926535     		Φ = -0.777728259435791
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35856801} λ = -0.35856801}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.777728259435791))-π/2
    2×atan(0.459448574604279)-π/2
    2×0.430683523794062-π/2
    0.861367047588124-1.57079632675     		φ = -0.70942928
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35856801} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.544434°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.70942928 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -40.647304°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14514 KachelY 20440 -0.35856801 -0.70942928 -20.544434 -40.647304
    Oben rechts KachelX + 1 14515 KachelY 20440 -0.35837626 -0.70942928 -20.533447 -40.647304
    Unten links KachelX 14514 KachelY + 1 20441 -0.35856801 -0.70957476 -20.544434 -40.655639
    Unten rechts KachelX + 1 14515 KachelY + 1 20441 -0.35837626 -0.70957476 -20.533447 -40.655639
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.70942928--0.70957476) × R
    0.00014547999999992 × 6371000     		dl = 926.853079999491m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.70942928--0.70957476) × R
    0.00014547999999992 × 6371000     		dr = 926.853079999491m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35856801--0.35837626) × cos(-0.70942928) × R
    0.000191749999999991 × 0.758733767032798 × 6371000     		do = 926.898950107577m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35856801--0.35837626) × cos(-0.70957476) × R
    0.000191749999999991 × 0.758638993208013 × 6371000     		du = 926.783170683346m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.70942928)-sin(-0.70957476))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.758733767032798-0.758638993208013)×R²
    abs(-0.35837626--0.35856801)×9.47738247855101e-05×R²
    0.000191749999999991×9.47738247855101e-05×6371000²
    0.000191749999999991×9.47738247855101e-05×40589641000000     		ar = 859045.493012553m²