Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14514 / 20414
↖ ↑ ↗
← S 40.430224°
W 20.544434°		 ← 929.91 m → S 40.430224°
W 20.533447°		 →
↑
929.85 m
↓
↑
929.85 m
↓
S 40.438586°
W 20.544434°		 ← 929.79 m →
864 618 m²		 S 40.438586°
W 20.533447°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14514 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20414 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.442947387695312 y=0.623001098632812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.442947387695312 × 215)
    floor (0.442947387695312 × 32768)
    floor (14514.5)     		tx = 14514
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.623001098632812 × 215)
    floor (0.623001098632812 × 32768)
    floor (20414.5)     		ty = 20414
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14514 / 20414 ti = "15/14514/20414"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14514/20414.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14514 ÷ 215
    14514 ÷ 32768     		x = 0.44293212890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20414 ÷ 215
    20414 ÷ 32768     		y = 0.62298583984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.44293212890625 × 2 - 1) × π
    -0.1141357421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.35856801
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.62298583984375 × 2 - 1) × π
    -0.2459716796875 × 3.1415926535     		Φ = -0.772742821875305
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35856801} λ = -0.35856801}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.772742821875305))-π/2
    2×atan(0.461744845987955)-π/2
    2×0.432577903535953-π/2
    0.865155807071905-1.57079632675     		φ = -0.70564052
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35856801} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.544434°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.70564052 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -40.430224°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14514 KachelY 20414 -0.35856801 -0.70564052 -20.544434 -40.430224
    Oben rechts KachelX + 1 14515 KachelY 20414 -0.35837626 -0.70564052 -20.533447 -40.430224
    Unten links KachelX 14514 KachelY + 1 20415 -0.35856801 -0.70578647 -20.544434 -40.438586
    Unten rechts KachelX + 1 14515 KachelY + 1 20415 -0.35837626 -0.70578647 -20.533447 -40.438586
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.70564052--0.70578647) × R
    0.000145950000000061 × 6371000     		dl = 929.847450000391m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.70564052--0.70578647) × R
    0.000145950000000061 × 6371000     		dr = 929.847450000391m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35856801--0.35837626) × cos(-0.70564052) × R
    0.000191749999999991 × 0.761196316930342 × 6371000     		do = 929.907297717499m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35856801--0.35837626) × cos(-0.70578647) × R
    0.000191749999999991 × 0.761101657106976 × 6371000     		du = 929.791657561877m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.70564052)-sin(-0.70578647))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.761196316930342-0.761101657106976)×R²
    abs(-0.35837626--0.35856801)×9.46598233664275e-05×R²
    0.000191749999999991×9.46598233664275e-05×6371000²
    0.000191749999999991×9.46598233664275e-05×40589641000000     		ar = 864618.167202346m²