Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 14514 / 12114
↖ ↑ ↗
← N 74.280587°
W100.272217°		 ← 165.48 m → N 74.280587°
W100.266724°		 →
↑
165.52 m
↓
↑
165.52 m
↓
N 74.279099°
W100.272217°		 ← 165.49 m →
27 391 m²		 N 74.279099°
W100.266724°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14514 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12114 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.221473693847656 y=0.184852600097656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.221473693847656 × 216)
    floor (0.221473693847656 × 65536)
    floor (14514.5)     		tx = 14514
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.184852600097656 × 216)
    floor (0.184852600097656 × 65536)
    floor (12114.5)     		ty = 12114
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 14514 / 12114 ti = "16/14514/12114"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/14514/12114.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14514 ÷ 216
    14514 ÷ 65536     		x = 0.221466064453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12114 ÷ 216
    12114 ÷ 65536     		y = 0.184844970703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.221466064453125 × 2 - 1) × π
    -0.55706787109375 × 3.1415926535     		Λ = -1.75008033
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.184844970703125 × 2 - 1) × π
    0.63031005859375 × 3.1415926535     		Φ = 1.98017744950528
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.75008033} λ = -1.75008033}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.98017744950528))-π/2
    2×atan(7.24402832035827)-π/2
    2×1.43361857235976-π/2
    2.86723714471952-1.57079632675     		φ = 1.29644082
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.75008033} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -100.272217°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.29644082 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 74.280587°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14514 KachelY 12114 -1.75008033 1.29644082 -100.272217 74.280587
    Oben rechts KachelX + 1 14515 KachelY 12114 -1.74998446 1.29644082 -100.266724 74.280587
    Unten links KachelX 14514 KachelY + 1 12115 -1.75008033 1.29641484 -100.272217 74.279099
    Unten rechts KachelX + 1 14515 KachelY + 1 12115 -1.74998446 1.29641484 -100.266724 74.279099
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.29644082-1.29641484) × R
    2.5979999999981e-05 × 6371000     		dl = 165.518579999879m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.29644082-1.29641484) × R
    2.5979999999981e-05 × 6371000     		dr = 165.518579999879m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.75008033--1.74998446) × cos(1.29644082) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.270926604102336 × 6371000     		do = 165.478656353335m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.75008033--1.74998446) × cos(1.29641484) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.270951612359106 × 6371000     		du = 165.493931090719m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.29644082)-sin(1.29641484))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.270926604102336-0.270951612359106)×R²
    abs(-1.74998446--1.75008033)×2.50082567698207e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.50082567698207e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.50082567698207e-05×40589641000000     		ar = 27391.0563478623m²