Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14512 / 20428
↖ ↑ ↗
← S 40.547200°
W 20.566406°		 ← 928.24 m → S 40.547200°
W 20.555420°		 →
↑
928.19 m
↓
↑
928.19 m
↓
S 40.555548°
W 20.566406°		 ← 928.12 m →
861 530 m²		 S 40.555548°
W 20.555420°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14512 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20428 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.442886352539062 y=0.623428344726562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.442886352539062 × 215)
    floor (0.442886352539062 × 32768)
    floor (14512.5)     		tx = 14512
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.623428344726562 × 215)
    floor (0.623428344726562 × 32768)
    floor (20428.5)     		ty = 20428
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14512 / 20428 ti = "15/14512/20428"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14512/20428.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14512 ÷ 215
    14512 ÷ 32768     		x = 0.44287109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20428 ÷ 215
    20428 ÷ 32768     		y = 0.6234130859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.44287109375 × 2 - 1) × π
    -0.1142578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.35895150
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6234130859375 × 2 - 1) × π
    -0.246826171875 × 3.1415926535     		Φ = -0.775427288254028
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35895150} λ = -0.35895150}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.775427288254028))-π/2
    2×atan(0.460506969735324)-π/2
    2×0.431557090127929-π/2
    0.863114180255858-1.57079632675     		φ = -0.70768215
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35895150} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.566406°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.70768215 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -40.547200°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14512 KachelY 20428 -0.35895150 -0.70768215 -20.566406 -40.547200
    Oben rechts KachelX + 1 14513 KachelY 20428 -0.35875976 -0.70768215 -20.555420 -40.547200
    Unten links KachelX 14512 KachelY + 1 20429 -0.35895150 -0.70782784 -20.566406 -40.555548
    Unten rechts KachelX + 1 14513 KachelY + 1 20429 -0.35875976 -0.70782784 -20.555420 -40.555548
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.70768215--0.70782784) × R
    0.000145689999999976 × 6371000     		dl = 928.190989999848m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.70768215--0.70782784) × R
    0.000145689999999976 × 6371000     		dr = 928.190989999848m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35895150--0.35875976) × cos(-0.70768215) × R
    0.000191739999999996 × 0.759870690422234 × 6371000     		do = 928.239448982692m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35895150--0.35875976) × cos(-0.70782784) × R
    0.000191739999999996 × 0.759775973040367 × 6371000     		du = 928.123744545792m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.70768215)-sin(-0.70782784))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.759870690422234-0.759775973040367)×R²
    abs(-0.35875976--0.35895150)×9.47173818665048e-05×R²
    0.000191739999999996×9.47173818665048e-05×6371000²
    0.000191739999999996×9.47173818665048e-05×40589641000000     		ar = 861529.796724682m²