Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 14510 / 21690
↖ ↑ ↗
← S 50.247205°
W 20.588379°		 ← 781.21 m → S 50.247205°
W 20.577392°		 →
↑
781.08 m
↓
↑
781.08 m
↓
S 50.254230°
W 20.588379°		 ← 781.09 m →
610 146 m²		 S 50.254230°
W 20.577392°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14510 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21690 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.442825317382812 y=0.661941528320312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.442825317382812 × 215)
    floor (0.442825317382812 × 32768)
    floor (14510.5)     		tx = 14510
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.661941528320312 × 215)
    floor (0.661941528320312 × 32768)
    floor (21690.5)     		ty = 21690
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14510 / 21690 ti = "15/14510/21690"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14510/21690.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14510 ÷ 215
    14510 ÷ 32768     		x = 0.44281005859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21690 ÷ 215
    21690 ÷ 32768     		y = 0.66192626953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.44281005859375 × 2 - 1) × π
    -0.1143798828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.35933500
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.66192626953125 × 2 - 1) × π
    -0.3238525390625 × 3.1415926535     		Φ = -1.01741275753607
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35933500} λ = -0.35933500}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.01741275753607))-π/2
    2×atan(0.36152909463553)-π/2
    2×0.346908580679979-π/2
    0.693817161359958-1.57079632675     		φ = -0.87697917
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35933500} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.588379°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.87697917 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -50.247205°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14510 KachelY 21690 -0.35933500 -0.87697917 -20.588379 -50.247205
    Oben rechts KachelX + 1 14511 KachelY 21690 -0.35914325 -0.87697917 -20.577392 -50.247205
    Unten links KachelX 14510 KachelY + 1 21691 -0.35933500 -0.87710177 -20.588379 -50.254230
    Unten rechts KachelX + 1 14511 KachelY + 1 21691 -0.35914325 -0.87710177 -20.577392 -50.254230
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.87697917--0.87710177) × R
    0.000122599999999973 × 6371000     		dl = 781.084599999826m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.87697917--0.87710177) × R
    0.000122599999999973 × 6371000     		dr = 781.084599999826m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35933500--0.35914325) × cos(-0.87697917) × R
    0.000191749999999991 × 0.639476504653314 × 6371000     		do = 781.209597537257m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35933500--0.35914325) × cos(-0.87710177) × R
    0.000191749999999991 × 0.639382243663191 × 6371000     		du = 781.09444461198m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.87697917)-sin(-0.87710177))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.639476504653314-0.639382243663191)×R²
    abs(-0.35914325--0.35933500)×9.42609901223301e-05×R²
    0.000191749999999991×9.42609901223301e-05×6371000²
    0.000191749999999991×9.42609901223301e-05×40589641000000     		ar = 610145.814684544m²