Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14510 / 20425
↖ ↑ ↗
← S 40.522151°
W 20.588379°		 ← 928.63 m → S 40.522151°
W 20.577392°		 →
↑
928.57 m
↓
↑
928.57 m
↓
S 40.530502°
W 20.588379°		 ← 928.52 m →
862 252 m²		 S 40.530502°
W 20.577392°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14510 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20425 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.442825317382812 y=0.623336791992188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.442825317382812 × 215)
    floor (0.442825317382812 × 32768)
    floor (14510.5)     		tx = 14510
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.623336791992188 × 215)
    floor (0.623336791992188 × 32768)
    floor (20425.5)     		ty = 20425
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14510 / 20425 ti = "15/14510/20425"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14510/20425.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14510 ÷ 215
    14510 ÷ 32768     		x = 0.44281005859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20425 ÷ 215
    20425 ÷ 32768     		y = 0.623321533203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.44281005859375 × 2 - 1) × π
    -0.1143798828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.35933500
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.623321533203125 × 2 - 1) × π
    -0.24664306640625 × 3.1415926535     		Φ = -0.774852045458588
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35933500} λ = -0.35933500}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.774852045458588))-π/2
    2×atan(0.460771949258388)-π/2
    2×0.431775686061166-π/2
    0.863551372122331-1.57079632675     		φ = -0.70724495
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35933500} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.588379°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.70724495 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -40.522151°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14510 KachelY 20425 -0.35933500 -0.70724495 -20.588379 -40.522151
    Oben rechts KachelX + 1 14511 KachelY 20425 -0.35914325 -0.70724495 -20.577392 -40.522151
    Unten links KachelX 14510 KachelY + 1 20426 -0.35933500 -0.70739070 -20.588379 -40.530502
    Unten rechts KachelX + 1 14511 KachelY + 1 20426 -0.35914325 -0.70739070 -20.577392 -40.530502
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.70724495--0.70739070) × R
    0.000145750000000056 × 6371000     		dl = 928.573250000354m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.70724495--0.70739070) × R
    0.000145750000000056 × 6371000     		dr = 928.573250000354m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35933500--0.35914325) × cos(-0.70724495) × R
    0.000191749999999991 × 0.760154830254097 × 6371000     		do = 928.634976715447m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35933500--0.35914325) × cos(-0.70739070) × R
    0.000191749999999991 × 0.760060122287572 × 6371000     		du = 928.519277746252m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.70724495)-sin(-0.70739070))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.760154830254097-0.760060122287572)×R²
    abs(-0.35914325--0.35933500)×9.47079665253314e-05×R²
    0.000191749999999991×9.47079665253314e-05×6371000²
    0.000191749999999991×9.47079665253314e-05×40589641000000     		ar = 862251.882435395m²