Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14508 / 7085
↖ ↑ ↗
← N 70.913049°
W 20.610351°		 ← 399.46 m → N 70.913049°
W 20.599365°		 →
↑
399.53 m
↓
↑
399.53 m
↓
N 70.909456°
W 20.610351°		 ← 399.53 m →
159 608 m²		 N 70.909456°
W 20.599365°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14508 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7085 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.442764282226562 y=0.216232299804688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.442764282226562 × 215)
    floor (0.442764282226562 × 32768)
    floor (14508.5)     		tx = 14508
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.216232299804688 × 215)
    floor (0.216232299804688 × 32768)
    floor (7085.5)     		ty = 7085
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14508 / 7085 ti = "15/14508/7085"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14508/7085.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14508 ÷ 215
    14508 ÷ 32768     		x = 0.4427490234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7085 ÷ 215
    7085 ÷ 32768     		y = 0.216217041015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4427490234375 × 2 - 1) × π
    -0.114501953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.35971849
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.216217041015625 × 2 - 1) × π
    0.56756591796875 × 3.1415926535     		Φ = 1.78306091826761
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35971849} λ = -0.35971849}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.78306091826761))-π/2
    2×atan(5.94803503185854)-π/2
    2×1.40423125612695-π/2
    2.80846251225389-1.57079632675     		φ = 1.23766619
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35971849} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.610351°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.23766619 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.913049°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14508 KachelY 7085 -0.35971849 1.23766619 -20.610351 70.913049
    Oben rechts KachelX + 1 14509 KachelY 7085 -0.35952675 1.23766619 -20.599365 70.913049
    Unten links KachelX 14508 KachelY + 1 7086 -0.35971849 1.23760348 -20.610351 70.909456
    Unten rechts KachelX + 1 14509 KachelY + 1 7086 -0.35952675 1.23760348 -20.599365 70.909456
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.23766619-1.23760348) × R
    6.27100000001324e-05 × 6371000     		dl = 399.525410000843m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.23766619-1.23760348) × R
    6.27100000001324e-05 × 6371000     		dr = 399.525410000843m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35971849--0.35952675) × cos(1.23766619) × R
    0.000191739999999996 × 0.327002678062267 × 6371000     		do = 399.458473035351m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35971849--0.35952675) × cos(1.23760348) × R
    0.000191739999999996 × 0.327061939837396 × 6371000     		du = 399.530865770305m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.23766619)-sin(1.23760348))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.327002678062267-0.327061939837396)×R²
    abs(-0.35952675--0.35971849)×5.92617751287716e-05×R²
    0.000191739999999996×5.92617751287716e-05×6371000²
    0.000191739999999996×5.92617751287716e-05×40589641000000     		ar = 159608.271639416m²