Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14508 / 21564
↖ ↑ ↗
← S 49.353756°
W 20.610351°		 ← 795.72 m → S 49.353756°
W 20.599365°		 →
↑
795.67 m
↓
↑
795.67 m
↓
S 49.360912°
W 20.610351°		 ← 795.60 m →
633 086 m²		 S 49.360912°
W 20.599365°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14508 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21564 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.442764282226562 y=0.658096313476562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.442764282226562 × 215)
    floor (0.442764282226562 × 32768)
    floor (14508.5)     		tx = 14508
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.658096313476562 × 215)
    floor (0.658096313476562 × 32768)
    floor (21564.5)     		ty = 21564
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14508 / 21564 ti = "15/14508/21564"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14508/21564.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14508 ÷ 215
    14508 ÷ 32768     		x = 0.4427490234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21564 ÷ 215
    21564 ÷ 32768     		y = 0.6580810546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4427490234375 × 2 - 1) × π
    -0.114501953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.35971849
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6580810546875 × 2 - 1) × π
    -0.316162109375 × 3.1415926535     		Φ = -0.993252560127563
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35971849} λ = -0.35971849}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.993252560127563))-π/2
    2×atan(0.370370078845567)-π/2
    2×0.354705395651951-π/2
    0.709410791303902-1.57079632675     		φ = -0.86138554
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35971849} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.610351°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.86138554 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -49.353756°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14508 KachelY 21564 -0.35971849 -0.86138554 -20.610351 -49.353756
    Oben rechts KachelX + 1 14509 KachelY 21564 -0.35952675 -0.86138554 -20.599365 -49.353756
    Unten links KachelX 14508 KachelY + 1 21565 -0.35971849 -0.86151043 -20.610351 -49.360912
    Unten rechts KachelX + 1 14509 KachelY + 1 21565 -0.35952675 -0.86151043 -20.599365 -49.360912
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.86138554--0.86151043) × R
    0.000124890000000044 × 6371000     		dl = 795.674190000281m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.86138554--0.86151043) × R
    0.000124890000000044 × 6371000     		dr = 795.674190000281m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35971849--0.35952675) × cos(-0.86138554) × R
    0.000191739999999996 × 0.651386821066532 × 6371000     		do = 795.718207693214m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35971849--0.35952675) × cos(-0.86151043) × R
    0.000191739999999996 × 0.651292056222137 × 6371000     		du = 795.602445277249m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.86138554)-sin(-0.86151043))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.651386821066532-0.651292056222137)×R²
    abs(-0.35952675--0.35971849)×9.47648443951898e-05×R²
    0.000191739999999996×9.47648443951898e-05×6371000²
    0.000191739999999996×9.47648443951898e-05×40589641000000     		ar = 633086.386613946m²