Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14507 / 7084
↖ ↑ ↗
← N 70.916641°
W 20.621338°		 ← 399.41 m → N 70.916641°
W 20.610351°		 →
↑
399.40 m
↓
↑
399.40 m
↓
N 70.913049°
W 20.621338°		 ← 399.48 m →
159 537 m²		 N 70.913049°
W 20.610351°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14507 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7084 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.442733764648438 y=0.216201782226562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.442733764648438 × 215)
    floor (0.442733764648438 × 32768)
    floor (14507.5)     		tx = 14507
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.216201782226562 × 215)
    floor (0.216201782226562 × 32768)
    floor (7084.5)     		ty = 7084
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14507 / 7084 ti = "15/14507/7084"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14507/7084.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14507 ÷ 215
    14507 ÷ 32768     		x = 0.442718505859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7084 ÷ 215
    7084 ÷ 32768     		y = 0.2161865234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.442718505859375 × 2 - 1) × π
    -0.11456298828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.35991024
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2161865234375 × 2 - 1) × π
    0.567626953125 × 3.1415926535     		Φ = 1.78325266586609
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35991024} λ = -0.35991024}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.78325266586609))-π/2
    2×atan(5.94917566264469)-π/2
    2×1.40426260427612-π/2
    2.80852520855225-1.57079632675     		φ = 1.23772888
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35991024} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.621338°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.23772888 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.916641°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14507 KachelY 7084 -0.35991024 1.23772888 -20.621338 70.916641
    Oben rechts KachelX + 1 14508 KachelY 7084 -0.35971849 1.23772888 -20.610351 70.916641
    Unten links KachelX 14507 KachelY + 1 7085 -0.35991024 1.23766619 -20.621338 70.913049
    Unten rechts KachelX + 1 14508 KachelY + 1 7085 -0.35971849 1.23766619 -20.610351 70.913049
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.23772888-1.23766619) × R
    6.26899999998098e-05 × 6371000     		dl = 399.397989998788m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.23772888-1.23766619) × R
    6.26899999998098e-05 × 6371000     		dr = 399.397989998788m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35991024--0.35971849) × cos(1.23772888) × R
    0.000191749999999991 × 0.326943433902064 × 6371000     		do = 399.406931384523m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35991024--0.35971849) × cos(1.23766619) × R
    0.000191749999999991 × 0.327002678062267 × 6371000     		du = 399.47930637596m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.23772888)-sin(1.23766619))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.326943433902064-0.327002678062267)×R²
    abs(-0.35971849--0.35991024)×5.92441602026428e-05×R²
    0.000191749999999991×5.92441602026428e-05×6371000²
    0.000191749999999991×5.92441602026428e-05×40589641000000     		ar = 159536.778851292m²