Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14505 / 21559
↖ ↑ ↗
← S 49.317961°
W 20.643311°		 ← 796.34 m → S 49.317961°
W 20.632324°		 →
↑
796.25 m
↓
↑
796.25 m
↓
S 49.325122°
W 20.643311°		 ← 796.22 m →
634 037 m²		 S 49.325122°
W 20.632324°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14505 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21559 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.442672729492188 y=0.657943725585938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.442672729492188 × 215)
    floor (0.442672729492188 × 32768)
    floor (14505.5)     		tx = 14505
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.657943725585938 × 215)
    floor (0.657943725585938 × 32768)
    floor (21559.5)     		ty = 21559
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14505 / 21559 ti = "15/14505/21559"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14505/21559.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14505 ÷ 215
    14505 ÷ 32768     		x = 0.442657470703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21559 ÷ 215
    21559 ÷ 32768     		y = 0.657928466796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.442657470703125 × 2 - 1) × π
    -0.11468505859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.36029374
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.657928466796875 × 2 - 1) × π
    -0.31585693359375 × 3.1415926535     		Φ = -0.992293822135162
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.36029374} λ = -0.36029374}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.992293822135162))-π/2
    2×atan(0.370725336983929)-π/2
    2×0.355017763880389-π/2
    0.710035527760777-1.57079632675     		φ = -0.86076080
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.36029374} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.643311°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.86076080 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -49.317961°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14505 KachelY 21559 -0.36029374 -0.86076080 -20.643311 -49.317961
    Oben rechts KachelX + 1 14506 KachelY 21559 -0.36010199 -0.86076080 -20.632324 -49.317961
    Unten links KachelX 14505 KachelY + 1 21560 -0.36029374 -0.86088578 -20.643311 -49.325122
    Unten rechts KachelX + 1 14506 KachelY + 1 21560 -0.36010199 -0.86088578 -20.632324 -49.325122
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.86076080--0.86088578) × R
    0.000124980000000052 × 6371000     		dl = 796.247580000333m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.86076080--0.86088578) × R
    0.000124980000000052 × 6371000     		dr = 796.247580000333m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.36029374--0.36010199) × cos(-0.86076080) × R
    0.000191749999999991 × 0.651860712777 × 6371000     		do = 796.33863226132m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.36029374--0.36010199) × cos(-0.86088578) × R
    0.000191749999999991 × 0.651765930513245 × 6371000     		du = 796.222842527714m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.86076080)-sin(-0.86088578))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.651860712777-0.651765930513245)×R²
    abs(-0.36010199--0.36029374)×9.47822637547002e-05×R²
    0.000191749999999991×9.47822637547002e-05×6371000²
    0.000191749999999991×9.47822637547002e-05×40589641000000     		ar = 634036.610976446m²