Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14504 / 7080
↖ ↑ ↗
← N 70.931003°
W 20.654297°		 ← 399.12 m → N 70.931003°
W 20.643311°		 →
↑
399.14 m
↓
↑
399.14 m
↓
N 70.927414°
W 20.654297°		 ← 399.19 m →
159 319 m²		 N 70.927414°
W 20.643311°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14504 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7080 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.442642211914062 y=0.216079711914062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.442642211914062 × 215)
    floor (0.442642211914062 × 32768)
    floor (14504.5)     		tx = 14504
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.216079711914062 × 215)
    floor (0.216079711914062 × 32768)
    floor (7080.5)     		ty = 7080
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14504 / 7080 ti = "15/14504/7080"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14504/7080.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14504 ÷ 215
    14504 ÷ 32768     		x = 0.442626953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7080 ÷ 215
    7080 ÷ 32768     		y = 0.216064453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.442626953125 × 2 - 1) × π
    -0.11474609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.36048549
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.216064453125 × 2 - 1) × π
    0.56787109375 × 3.1415926535     		Φ = 1.78401965626001
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.36048549} λ = -0.36048549}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.78401965626001))-π/2
    2×atan(5.95374037355061)-π/2
    2×1.40438794008109-π/2
    2.80877588016217-1.57079632675     		φ = 1.23797955
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.36048549} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.654297°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.23797955 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.931003°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14504 KachelY 7080 -0.36048549 1.23797955 -20.654297 70.931003
    Oben rechts KachelX + 1 14505 KachelY 7080 -0.36029374 1.23797955 -20.643311 70.931003
    Unten links KachelX 14504 KachelY + 1 7081 -0.36048549 1.23791690 -20.654297 70.927414
    Unten rechts KachelX + 1 14505 KachelY + 1 7081 -0.36029374 1.23791690 -20.643311 70.927414
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.23797955-1.23791690) × R
    6.26499999998309e-05 × 6371000     		dl = 399.143149998923m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.23797955-1.23791690) × R
    6.26499999998309e-05 × 6371000     		dr = 399.143149998923m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.36048549--0.36029374) × cos(1.23797955) × R
    0.000191750000000046 × 0.326706529475913 × 6371000     		do = 399.117519639153m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.36048549--0.36029374) × cos(1.23791690) × R
    0.000191750000000046 × 0.326765740968259 × 6371000     		du = 399.189854722254m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.23797955)-sin(1.23791690))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.326706529475913-0.326765740968259)×R²
    abs(-0.36029374--0.36048549)×5.92114923457787e-05×R²
    0.000191750000000046×5.92114923457787e-05×6371000²
    0.000191750000000046×5.92114923457787e-05×40589641000000     		ar = 159319.460086935m²