Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 14503 / 21681
↖ ↑ ↗
← S 50.183933°
W 20.665283°		 ← 782.21 m → S 50.183933°
W 20.654297°		 →
↑
782.17 m
↓
↑
782.17 m
↓
S 50.190968°
W 20.665283°		 ← 782.09 m →
611 771 m²		 S 50.190968°
W 20.654297°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14503 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21681 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.442611694335938 y=0.661666870117188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.442611694335938 × 215)
    floor (0.442611694335938 × 32768)
    floor (14503.5)     		tx = 14503
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.661666870117188 × 215)
    floor (0.661666870117188 × 32768)
    floor (21681.5)     		ty = 21681
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14503 / 21681 ti = "15/14503/21681"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14503/21681.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14503 ÷ 215
    14503 ÷ 32768     		x = 0.442596435546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21681 ÷ 215
    21681 ÷ 32768     		y = 0.661651611328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.442596435546875 × 2 - 1) × π
    -0.11480712890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.36067723
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.661651611328125 × 2 - 1) × π
    -0.32330322265625 × 3.1415926535     		Φ = -1.01568702914975
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.36067723} λ = -0.36067723}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.01568702914975))-π/2
    2×atan(0.362153534308286)-π/2
    2×0.347460728151267-π/2
    0.694921456302535-1.57079632675     		φ = -0.87587487
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.36067723} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.665283°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.87587487 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -50.183933°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14503 KachelY 21681 -0.36067723 -0.87587487 -20.665283 -50.183933
    Oben rechts KachelX + 1 14504 KachelY 21681 -0.36048549 -0.87587487 -20.654297 -50.183933
    Unten links KachelX 14503 KachelY + 1 21682 -0.36067723 -0.87599764 -20.665283 -50.190968
    Unten rechts KachelX + 1 14504 KachelY + 1 21682 -0.36048549 -0.87599764 -20.654297 -50.190968
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.87587487--0.87599764) × R
    0.00012277000000005 × 6371000     		dl = 782.167670000317m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.87587487--0.87599764) × R
    0.00012277000000005 × 6371000     		dr = 782.167670000317m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.36067723--0.36048549) × cos(-0.87587487) × R
    0.000191739999999996 × 0.640325112156499 × 6371000     		do = 782.205494658118m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.36067723--0.36048549) × cos(-0.87599764) × R
    0.000191739999999996 × 0.64023080720334 × 6371000     		du = 782.090294034038m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.87587487)-sin(-0.87599764))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.640325112156499-0.64023080720334)×R²
    abs(-0.36048549--0.36067723)×9.43049531589857e-05×R²
    0.000191739999999996×9.43049531589857e-05×6371000²
    0.000191739999999996×9.43049531589857e-05×40589641000000     		ar = 611770.796884731m²