Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14502 / 21702
↖ ↑ ↗
← S 50.331436°
W 20.676270°		 ← 779.83 m → S 50.331436°
W 20.665283°		 →
↑
779.75 m
↓
↑
779.75 m
↓
S 50.338449°
W 20.676270°		 ← 779.71 m →
608 023 m²		 S 50.338449°
W 20.665283°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14502 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21702 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.442581176757812 y=0.662307739257812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.442581176757812 × 215)
    floor (0.442581176757812 × 32768)
    floor (14502.5)     		tx = 14502
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.662307739257812 × 215)
    floor (0.662307739257812 × 32768)
    floor (21702.5)     		ty = 21702
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14502 / 21702 ti = "15/14502/21702"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14502/21702.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14502 ÷ 215
    14502 ÷ 32768     		x = 0.44256591796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21702 ÷ 215
    21702 ÷ 32768     		y = 0.66229248046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.44256591796875 × 2 - 1) × π
    -0.1148681640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.36086898
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.66229248046875 × 2 - 1) × π
    -0.3245849609375 × 3.1415926535     		Φ = -1.01971372871783
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.36086898} λ = -0.36086898}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.01971372871783))-π/2
    2×atan(0.360698182925957)-π/2
    2×0.346173522791235-π/2
    0.69234704558247-1.57079632675     		φ = -0.87844928
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.36086898} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.676270°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.87844928 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -50.331436°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14502 KachelY 21702 -0.36086898 -0.87844928 -20.676270 -50.331436
    Oben rechts KachelX + 1 14503 KachelY 21702 -0.36067723 -0.87844928 -20.665283 -50.331436
    Unten links KachelX 14502 KachelY + 1 21703 -0.36086898 -0.87857167 -20.676270 -50.338449
    Unten rechts KachelX + 1 14503 KachelY + 1 21703 -0.36067723 -0.87857167 -20.665283 -50.338449
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.87844928--0.87857167) × R
    0.000122390000000028 × 6371000     		dl = 779.746690000177m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.87844928--0.87857167) × R
    0.000122390000000028 × 6371000     		dr = 779.746690000177m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.36086898--0.36067723) × cos(-0.87844928) × R
    0.000191749999999991 × 0.638345577824959 × 6371000     		do = 779.828012934862m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.36086898--0.36067723) × cos(-0.87857167) × R
    0.000191749999999991 × 0.638251363352774 × 6371000     		du = 779.712916837722m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.87844928)-sin(-0.87857167))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.638345577824959-0.638251363352774)×R²
    abs(-0.36067723--0.36086898)×9.42144721849392e-05×R²
    0.000191749999999991×9.42144721849392e-05×6371000²
    0.000191749999999991×9.42144721849392e-05×40589641000000     		ar = 608023.439714063m²