Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14501 / 7071
↖ ↑ ↗
← N 70.963281°
W 20.687256°		 ← 398.47 m → N 70.963281°
W 20.676270°		 →
↑
398.51 m
↓
↑
398.51 m
↓
N 70.959697°
W 20.687256°		 ← 398.54 m →
158 806 m²		 N 70.959697°
W 20.676270°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14501 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7071 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.442550659179688 y=0.215805053710938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.442550659179688 × 215)
    floor (0.442550659179688 × 32768)
    floor (14501.5)     		tx = 14501
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.215805053710938 × 215)
    floor (0.215805053710938 × 32768)
    floor (7071.5)     		ty = 7071
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14501 / 7071 ti = "15/14501/7071"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14501/7071.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14501 ÷ 215
    14501 ÷ 32768     		x = 0.442535400390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7071 ÷ 215
    7071 ÷ 32768     		y = 0.215789794921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.442535400390625 × 2 - 1) × π
    -0.11492919921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.36106073
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.215789794921875 × 2 - 1) × π
    0.56842041015625 × 3.1415926535     		Φ = 1.78574538464633
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.36106073} λ = -0.36106073}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.78574538464633))-π/2
    2×atan(5.96402378295168)-π/2
    2×1.40466961365784-π/2
    2.80933922731568-1.57079632675     		φ = 1.23854290
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.36106073} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.687256°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.23854290 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.963281°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14501 KachelY 7071 -0.36106073 1.23854290 -20.687256 70.963281
    Oben rechts KachelX + 1 14502 KachelY 7071 -0.36086898 1.23854290 -20.676270 70.963281
    Unten links KachelX 14501 KachelY + 1 7072 -0.36106073 1.23848035 -20.687256 70.959697
    Unten rechts KachelX + 1 14502 KachelY + 1 7072 -0.36086898 1.23848035 -20.676270 70.959697
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.23854290-1.23848035) × R
    6.25499999999946e-05 × 6371000     		dl = 398.506049999965m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.23854290-1.23848035) × R
    6.25499999999946e-05 × 6371000     		dr = 398.506049999965m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.36106073--0.36086898) × cos(1.23854290) × R
    0.000191749999999991 × 0.326174041022726 × 6371000     		do = 398.467010844453m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.36106073--0.36086898) × cos(1.23848035) × R
    0.000191749999999991 × 0.32623316950853 × 6371000     		du = 398.539244523503m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.23854290)-sin(1.23848035))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.326174041022726-0.32623316950853)×R²
    abs(-0.36086898--0.36106073)×5.91284858032504e-05×R²
    0.000191749999999991×5.91284858032504e-05×6371000²
    0.000191749999999991×5.91284858032504e-05×40589641000000     		ar = 158805.907378126m²