Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14501 / 21691
↖ ↑ ↗
← S 50.254230°
W 20.687256°		 ← 781.09 m → S 50.254230°
W 20.676270°		 →
↑
781.08 m
↓
↑
781.08 m
↓
S 50.261254°
W 20.687256°		 ← 780.98 m →
610 056 m²		 S 50.261254°
W 20.676270°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14501 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21691 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.442550659179688 y=0.661972045898438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.442550659179688 × 215)
    floor (0.442550659179688 × 32768)
    floor (14501.5)     		tx = 14501
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.661972045898438 × 215)
    floor (0.661972045898438 × 32768)
    floor (21691.5)     		ty = 21691
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14501 / 21691 ti = "15/14501/21691"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14501/21691.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14501 ÷ 215
    14501 ÷ 32768     		x = 0.442535400390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21691 ÷ 215
    21691 ÷ 32768     		y = 0.661956787109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.442535400390625 × 2 - 1) × π
    -0.11492919921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.36106073
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.661956787109375 × 2 - 1) × π
    -0.32391357421875 × 3.1415926535     		Φ = -1.01760450513455
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.36106073} λ = -0.36106073}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.01760450513455))-π/2
    2×atan(0.361459778945623)-π/2
    2×0.346847276156564-π/2
    0.693694552313128-1.57079632675     		φ = -0.87710177
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.36106073} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.687256°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.87710177 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -50.254230°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14501 KachelY 21691 -0.36106073 -0.87710177 -20.687256 -50.254230
    Oben rechts KachelX + 1 14502 KachelY 21691 -0.36086898 -0.87710177 -20.676270 -50.254230
    Unten links KachelX 14501 KachelY + 1 21692 -0.36106073 -0.87722437 -20.687256 -50.261254
    Unten rechts KachelX + 1 14502 KachelY + 1 21692 -0.36086898 -0.87722437 -20.676270 -50.261254
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.87710177--0.87722437) × R
    0.000122599999999973 × 6371000     		dl = 781.084599999826m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.87710177--0.87722437) × R
    0.000122599999999973 × 6371000     		dr = 781.084599999826m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.36106073--0.36086898) × cos(-0.87710177) × R
    0.000191749999999991 × 0.639382243663191 × 6371000     		do = 781.09444461198m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.36106073--0.36086898) × cos(-0.87722437) × R
    0.000191749999999991 × 0.639287973062668 × 6371000     		du = 780.979279946259m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.87710177)-sin(-0.87722437))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.639382243663191-0.639287973062668)×R²
    abs(-0.36086898--0.36106073)×9.42706005233607e-05×R²
    0.000191749999999991×9.42706005233607e-05×6371000²
    0.000191749999999991×9.42706005233607e-05×40589641000000     		ar = 610055.865922177m²