Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 14501 / 10397
↖ ↑ ↗
← N 76.643033°
W100.343628°		 ← 141.10 m → N 76.643033°
W100.338135°		 →
↑
141.12 m
↓
↑
141.12 m
↓
N 76.641764°
W100.343628°		 ← 141.12 m →
19 913 m²		 N 76.641764°
W100.338135°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14501 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10397 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.221275329589844 y=0.158653259277344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.221275329589844 × 216)
    floor (0.221275329589844 × 65536)
    floor (14501.5)     		tx = 14501
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.158653259277344 × 216)
    floor (0.158653259277344 × 65536)
    floor (10397.5)     		ty = 10397
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 14501 / 10397 ti = "16/14501/10397"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/14501/10397.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14501 ÷ 216
    14501 ÷ 65536     		x = 0.221267700195312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10397 ÷ 216
    10397 ÷ 65536     		y = 0.158645629882812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.221267700195312 × 2 - 1) × π
    -0.557464599609375 × 3.1415926535     		Λ = -1.75132669
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.158645629882812 × 2 - 1) × π
    0.682708740234375 × 3.1415926535     		Φ = 2.14479276280055
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.75132669} λ = -1.75132669}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.14479276280055))-π/2
    2×atan(8.54027119200646)-π/2
    2×1.45423480232006-π/2
    2.90846960464012-1.57079632675     		φ = 1.33767328
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.75132669} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -100.343628°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33767328 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.643033°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14501 KachelY 10397 -1.75132669 1.33767328 -100.343628 76.643033
    Oben rechts KachelX + 1 14502 KachelY 10397 -1.75123082 1.33767328 -100.338135 76.643033
    Unten links KachelX 14501 KachelY + 1 10398 -1.75132669 1.33765113 -100.343628 76.641764
    Unten rechts KachelX + 1 14502 KachelY + 1 10398 -1.75123082 1.33765113 -100.338135 76.641764
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33767328-1.33765113) × R
    2.2149999999943e-05 × 6371000     		dl = 141.117649999637m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33767328-1.33765113) × R
    2.2149999999943e-05 × 6371000     		dr = 141.117649999637m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.75132669--1.75123082) × cos(1.33767328) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.231017212526856 × 6371000     		do = 141.102488070892m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.75132669--1.75123082) × cos(1.33765113) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.231038763305228 × 6371000     		du = 141.115651022755m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33767328)-sin(1.33765113))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.231017212526856-0.231038763305228)×R²
    abs(-1.75123082--1.75132669)×2.15507783714319e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.15507783714319e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.15507783714319e-05×40589641000000     		ar = 19912.9802890483m²