Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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10 / 145 / 61
↖ ↑ ↗
← N 82.809512°
W129.023438°		 ← 4 893.09 m → N 82.809512°
W128.671875°		 →
↑
4 908.03 m
↓
↑
4 908.03 m
↓
N 82.765373°
W129.023438°		 ← 4 922.97 m →
24 088 736 m²		 N 82.765373°
W128.671875°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 10 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 145 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 61 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.14208984375 y=0.06005859375 und der Vergrößerungsstufe zoom=10 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.14208984375 × 210)
    floor (0.14208984375 × 1024)
    floor (145.5)     		tx = 145
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.06005859375 × 210)
    floor (0.06005859375 × 1024)
    floor (61.5)     		ty = 61
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 10 / 145 / 61 ti = "10/145/61"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/10/145/61.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 145 ÷ 210
    145 ÷ 1024     		x = 0.1416015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 61 ÷ 210
    61 ÷ 1024     		y = 0.0595703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.1416015625 × 2 - 1) × π
    -0.716796875 × 3.1415926535     		Λ = -2.25188380
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0595703125 × 2 - 1) × π
    0.880859375 × 3.1415926535     		Φ = 2.7673013412666
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.25188380} λ = -2.25188380}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.7673013412666))-π/2
    2×atan(15.9156251619537)-π/2
    2×1.50804747637599-π/2
    3.01609495275198-1.57079632675     		φ = 1.44529863
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.25188380} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -129.023438°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.44529863 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 82.809512°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 145 KachelY 61 -2.25188380 1.44529863 -129.023438 82.809512
    Oben rechts KachelX + 1 146 KachelY 61 -2.24574787 1.44529863 -128.671875 82.809512
    Unten links KachelX 145 KachelY + 1 62 -2.25188380 1.44452826 -129.023438 82.765373
    Unten rechts KachelX + 1 146 KachelY + 1 62 -2.24574787 1.44452826 -128.671875 82.765373
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.44529863-1.44452826) × R
    0.000770369999999909 × 6371000     		dl = 4908.02726999942m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.44529863-1.44452826) × R
    0.000770369999999909 × 6371000     		dr = 4908.02726999942m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.25188380--2.24574787) × cos(1.44529863) × R
    0.00613592999999968 × 0.125168531522629 × 6371000     		do = 4893.08948972273m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.25188380--2.24574787) × cos(1.44452826) × R
    0.00613592999999968 × 0.125932805725766 × 6371000     		du = 4922.96650453741m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.44529863)-sin(1.44452826))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.125168531522629-0.125932805725766)×R²
    abs(-2.24574787--2.25188380)×0.000764274203136628×R²
    0.00613592999999968×0.000764274203136628×6371000²
    0.00613592999999968×0.000764274203136628×40589641000000     		ar = 24088736.4431609m²