Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14499 / 21365
↖ ↑ ↗
← S 47.908978°
W 20.709228°		 ← 818.83 m → S 47.908978°
W 20.698242°		 →
↑
818.80 m
↓
↑
818.80 m
↓
S 47.916342°
W 20.709228°		 ← 818.72 m →
670 415 m²		 S 47.916342°
W 20.698242°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14499 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21365 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.442489624023438 y=0.652023315429688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.442489624023438 × 215)
    floor (0.442489624023438 × 32768)
    floor (14499.5)     		tx = 14499
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.652023315429688 × 215)
    floor (0.652023315429688 × 32768)
    floor (21365.5)     		ty = 21365
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14499 / 21365 ti = "15/14499/21365"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14499/21365.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14499 ÷ 215
    14499 ÷ 32768     		x = 0.442474365234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21365 ÷ 215
    21365 ÷ 32768     		y = 0.652008056640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.442474365234375 × 2 - 1) × π
    -0.11505126953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.36144422
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.652008056640625 × 2 - 1) × π
    -0.30401611328125 × 3.1415926535     		Φ = -0.955094788029999
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.36144422} λ = -0.36144422}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.955094788029999))-π/2
    2×atan(0.384775670696547)-π/2
    2×0.367313456977308-π/2
    0.734626913954615-1.57079632675     		φ = -0.83616941
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.36144422} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.709228°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.83616941 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -47.908978°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14499 KachelY 21365 -0.36144422 -0.83616941 -20.709228 -47.908978
    Oben rechts KachelX + 1 14500 KachelY 21365 -0.36125248 -0.83616941 -20.698242 -47.908978
    Unten links KachelX 14499 KachelY + 1 21366 -0.36144422 -0.83629793 -20.709228 -47.916342
    Unten rechts KachelX + 1 14500 KachelY + 1 21366 -0.36125248 -0.83629793 -20.698242 -47.916342
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.83616941--0.83629793) × R
    0.000128519999999965 × 6371000     		dl = 818.800919999779m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.83616941--0.83629793) × R
    0.000128519999999965 × 6371000     		dr = 818.800919999779m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.36144422--0.36125248) × cos(-0.83616941) × R
    0.000191739999999996 × 0.670310344379327 × 6371000     		do = 818.834720902744m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.36144422--0.36125248) × cos(-0.83629793) × R
    0.000191739999999996 × 0.670214966608158 × 6371000     		du = 818.718209750425m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.83616941)-sin(-0.83629793))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.670310344379327-0.670214966608158)×R²
    abs(-0.36125248--0.36144422)×9.53777711686365e-05×R²
    0.000191739999999996×9.53777711686365e-05×6371000²
    0.000191739999999996×9.53777711686365e-05×40589641000000     		ar = 670414.924006586m²