Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 14498 / 11134
↖ ↑ ↗
← N 49.852152°
W 20.720215°		 ← 787.67 m → N 49.852152°
W 20.709228°		 →
↑
787.71 m
↓
↑
787.71 m
↓
N 49.845068°
W 20.720215°		 ← 787.78 m →
620 499 m²		 N 49.845068°
W 20.709228°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14498 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11134 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.442459106445312 y=0.339797973632812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.442459106445312 × 215)
    floor (0.442459106445312 × 32768)
    floor (14498.5)     		tx = 14498
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.339797973632812 × 215)
    floor (0.339797973632812 × 32768)
    floor (11134.5)     		ty = 11134
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14498 / 11134 ti = "15/14498/11134"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14498/11134.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14498 ÷ 215
    14498 ÷ 32768     		x = 0.44244384765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11134 ÷ 215
    11134 ÷ 32768     		y = 0.33978271484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.44244384765625 × 2 - 1) × π
    -0.1151123046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.36163597
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.33978271484375 × 2 - 1) × π
    0.3204345703125 × 3.1415926535     		Φ = 1.00667489202118
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.36163597} λ = -0.36163597}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.00667489202118))-π/2
    2×atan(2.73648675651958)-π/2
    2×1.22044025629126-π/2
    2.44088051258251-1.57079632675     		φ = 0.87008419
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.36163597} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.720215°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.87008419 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.852152°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14498 KachelY 11134 -0.36163597 0.87008419 -20.720215 49.852152
    Oben rechts KachelX + 1 14499 KachelY 11134 -0.36144422 0.87008419 -20.709228 49.852152
    Unten links KachelX 14498 KachelY + 1 11135 -0.36163597 0.86996055 -20.720215 49.845068
    Unten rechts KachelX + 1 14499 KachelY + 1 11135 -0.36144422 0.86996055 -20.709228 49.845068
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.87008419-0.86996055) × R
    0.00012363999999998 × 6371000     		dl = 787.710439999875m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.87008419-0.86996055) × R
    0.00012363999999998 × 6371000     		dr = 787.710439999875m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.36163597--0.36144422) × cos(0.87008419) × R
    0.000191749999999991 × 0.644762196101618 × 6371000     		do = 787.666805673895m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.36163597--0.36144422) × cos(0.86996055) × R
    0.000191749999999991 × 0.644856699514786 × 6371000     		du = 787.78225475268m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.87008419)-sin(0.86996055))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.644762196101618-0.644856699514786)×R²
    abs(-0.36144422--0.36163597)×9.4503413168523e-05×R²
    0.000191749999999991×9.4503413168523e-05×6371000²
    0.000191749999999991×9.4503413168523e-05×40589641000000     		ar = 620498.837083954m²