Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 14498 / 10402
↖ ↑ ↗
← N 76.636687°
W100.360107°		 ← 141.17 m → N 76.636687°
W100.354614°		 →
↑
141.18 m
↓
↑
141.18 m
↓
N 76.635417°
W100.360107°		 ← 141.18 m →
19 931 m²		 N 76.635417°
W100.354614°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14498 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10402 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.221229553222656 y=0.158729553222656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.221229553222656 × 216)
    floor (0.221229553222656 × 65536)
    floor (14498.5)     		tx = 14498
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.158729553222656 × 216)
    floor (0.158729553222656 × 65536)
    floor (10402.5)     		ty = 10402
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 14498 / 10402 ti = "16/14498/10402"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/14498/10402.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14498 ÷ 216
    14498 ÷ 65536     		x = 0.221221923828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10402 ÷ 216
    10402 ÷ 65536     		y = 0.158721923828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.221221923828125 × 2 - 1) × π
    -0.55755615234375 × 3.1415926535     		Λ = -1.75161431
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.158721923828125 × 2 - 1) × π
    0.68255615234375 × 3.1415926535     		Φ = 2.14431339380435
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.75161431} λ = -1.75161431}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.14431339380435))-π/2
    2×atan(8.53617823187534)-π/2
    2×1.4541794181604-π/2
    2.90835883632079-1.57079632675     		φ = 1.33756251
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.75161431} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -100.360107°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33756251 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.636687°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14498 KachelY 10402 -1.75161431 1.33756251 -100.360107 76.636687
    Oben rechts KachelX + 1 14499 KachelY 10402 -1.75151844 1.33756251 -100.354614 76.636687
    Unten links KachelX 14498 KachelY + 1 10403 -1.75161431 1.33754035 -100.360107 76.635417
    Unten rechts KachelX + 1 14499 KachelY + 1 10403 -1.75151844 1.33754035 -100.354614 76.635417
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33756251-1.33754035) × R
    2.21599999998823e-05 × 6371000     		dl = 141.18135999925m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33756251-1.33754035) × R
    2.21599999998823e-05 × 6371000     		dr = 141.18135999925m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.75161431--1.75151844) × cos(1.33756251) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.231124984743561 × 6371000     		do = 141.168314022801m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.75161431--1.75151844) × cos(1.33754035) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.23114654468415 × 6371000     		du = 141.181482570834m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33756251)-sin(1.33754035))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.231124984743561-0.23114654468415)×R²
    abs(-1.75151844--1.75161431)×2.15599405886668e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.15599405886668e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.15599405886668e-05×40589641000000     		ar = 19931.2641403267m²