Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 14497 / 9440
↖ ↑ ↗
← N 77.804771°
W100.365601°		 ← 129.04 m → N 77.804771°
W100.360107°		 →
↑
129.01 m
↓
↑
129.01 m
↓
N 77.803610°
W100.365601°		 ← 129.05 m →
16 648 m²		 N 77.803610°
W100.360107°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14497 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9440 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.221214294433594 y=0.144050598144531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.221214294433594 × 216)
    floor (0.221214294433594 × 65536)
    floor (14497.5)     		tx = 14497
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.144050598144531 × 216)
    floor (0.144050598144531 × 65536)
    floor (9440.5)     		ty = 9440
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 14497 / 9440 ti = "16/14497/9440"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/14497/9440.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14497 ÷ 216
    14497 ÷ 65536     		x = 0.221206665039062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9440 ÷ 216
    9440 ÷ 65536     		y = 0.14404296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.221206665039062 × 2 - 1) × π
    -0.557586669921875 × 3.1415926535     		Λ = -1.75171019
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.14404296875 × 2 - 1) × π
    0.7119140625 × 3.1415926535     		Φ = 2.23654398867334
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.75171019} λ = -1.75171019}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.23654398867334))-π/2
    2×atan(9.36092386059167)-π/2
    2×1.46437287499428-π/2
    2.92874574998857-1.57079632675     		φ = 1.35794942
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.75171019} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -100.365601°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35794942 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.804771°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14497 KachelY 9440 -1.75171019 1.35794942 -100.365601 77.804771
    Oben rechts KachelX + 1 14498 KachelY 9440 -1.75161431 1.35794942 -100.360107 77.804771
    Unten links KachelX 14497 KachelY + 1 9441 -1.75171019 1.35792917 -100.365601 77.803610
    Unten rechts KachelX + 1 14498 KachelY + 1 9441 -1.75161431 1.35792917 -100.360107 77.803610
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35794942-1.35792917) × R
    2.02499999999439e-05 × 6371000     		dl = 129.012749999643m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35794942-1.35792917) × R
    2.02499999999439e-05 × 6371000     		dr = 129.012749999643m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.75171019--1.75161431) × cos(1.35794942) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.211243414171206 × 6371000     		do = 129.038352186948m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.75171019--1.75161431) × cos(1.35792917) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.211263207155989 × 6371000     		du = 129.050442760997m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35794942)-sin(1.35792917))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.211243414171206-0.211263207155989)×R²
    abs(-1.75161431--1.75171019)×1.97929847828848e-05×R²
    9.58800000001592e-05×1.97929847828848e-05×6371000²
    9.58800000001592e-05×1.97929847828848e-05×40589641000000     		ar = 16648.3725906392m²