Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 14496 / 10400
↖ ↑ ↗
← N 76.639225°
W100.371094°		 ← 141.14 m → N 76.639225°
W100.365601°		 →
↑
141.12 m
↓
↑
141.12 m
↓
N 76.637956°
W100.371094°		 ← 141.16 m →
19 919 m²		 N 76.637956°
W100.365601°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14496 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10400 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.221199035644531 y=0.158699035644531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.221199035644531 × 216)
    floor (0.221199035644531 × 65536)
    floor (14496.5)     		tx = 14496
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.158699035644531 × 216)
    floor (0.158699035644531 × 65536)
    floor (10400.5)     		ty = 10400
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 14496 / 10400 ti = "16/14496/10400"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/14496/10400.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14496 ÷ 216
    14496 ÷ 65536     		x = 0.22119140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10400 ÷ 216
    10400 ÷ 65536     		y = 0.15869140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.22119140625 × 2 - 1) × π
    -0.5576171875 × 3.1415926535     		Λ = -1.75180606
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.15869140625 × 2 - 1) × π
    0.6826171875 × 3.1415926535     		Φ = 2.14450514140283
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.75180606} λ = -1.75180606}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.14450514140283))-π/2
    2×atan(8.53781518048697)-π/2
    2×1.45420157492402-π/2
    2.90840314984804-1.57079632675     		φ = 1.33760682
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.75180606} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -100.371094°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33760682 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.639225°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14496 KachelY 10400 -1.75180606 1.33760682 -100.371094 76.639225
    Oben rechts KachelX + 1 14497 KachelY 10400 -1.75171019 1.33760682 -100.365601 76.639225
    Unten links KachelX 14496 KachelY + 1 10401 -1.75180606 1.33758467 -100.371094 76.637956
    Unten rechts KachelX + 1 14497 KachelY + 1 10401 -1.75171019 1.33758467 -100.365601 76.637956
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33760682-1.33758467) × R
    2.2149999999943e-05 × 6371000     		dl = 141.117649999637m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33760682-1.33758467) × R
    2.2149999999943e-05 × 6371000     		dr = 141.117649999637m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.75180606--1.75171019) × cos(1.33760682) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.231081874251245 × 6371000     		do = 141.141982661335m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.75180606--1.75171019) × cos(1.33758467) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.231103424689475 × 6371000     		du = 141.155145405444m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33760682)-sin(1.33758467))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.231081874251245-0.231103424689475)×R²
    abs(-1.75171019--1.75180606)×2.15504382301002e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.15504382301002e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.15504382301002e-05×40589641000000     		ar = 19918.5536581759m²