Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14495 / 11133
↖ ↑ ↗
← N 49.859235°
W 20.753174°		 ← 787.51 m → N 49.859235°
W 20.742188°		 →
↑
787.58 m
↓
↑
787.58 m
↓
N 49.852152°
W 20.753174°		 ← 787.63 m →
620 275 m²		 N 49.852152°
W 20.742188°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14495 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11133 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.442367553710938 y=0.339767456054688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.442367553710938 × 215)
    floor (0.442367553710938 × 32768)
    floor (14495.5)     		tx = 14495
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.339767456054688 × 215)
    floor (0.339767456054688 × 32768)
    floor (11133.5)     		ty = 11133
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14495 / 11133 ti = "15/14495/11133"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14495/11133.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14495 ÷ 215
    14495 ÷ 32768     		x = 0.442352294921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11133 ÷ 215
    11133 ÷ 32768     		y = 0.339752197265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.442352294921875 × 2 - 1) × π
    -0.11529541015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.36221121
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.339752197265625 × 2 - 1) × π
    0.32049560546875 × 3.1415926535     		Φ = 1.00686663961966
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.36221121} λ = -0.36221121}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.00686663961966))-π/2
    2×atan(2.73701152159303)-π/2
    2×1.22050206756285-π/2
    2.44100413512569-1.57079632675     		φ = 0.87020781
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.36221121} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.753174°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.87020781 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.859235°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14495 KachelY 11133 -0.36221121 0.87020781 -20.753174 49.859235
    Oben rechts KachelX + 1 14496 KachelY 11133 -0.36201947 0.87020781 -20.742188 49.859235
    Unten links KachelX 14495 KachelY + 1 11134 -0.36221121 0.87008419 -20.753174 49.852152
    Unten rechts KachelX + 1 14496 KachelY + 1 11134 -0.36201947 0.87008419 -20.742188 49.852152
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.87020781-0.87008419) × R
    0.000123619999999991 × 6371000     		dl = 787.583019999942m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.87020781-0.87008419) × R
    0.000123619999999991 × 6371000     		dr = 787.583019999942m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.36221121--0.36201947) × cos(0.87020781) × R
    0.000191739999999996 × 0.644667698121325 × 6371000     		do = 787.510291453098m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.36221121--0.36201947) × cos(0.87008419) × R
    0.000191739999999996 × 0.644762196101618 × 6371000     		du = 787.625727874403m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.87020781)-sin(0.87008419))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.644667698121325-0.644762196101618)×R²
    abs(-0.36201947--0.36221121)×9.44979802927071e-05×R²
    0.000191739999999996×9.44979802927071e-05×6371000²
    0.000191739999999996×9.44979802927071e-05×40589641000000     		ar = 620275.19229604m²