Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 14495 / 10529
↖ ↑ ↗
← N 76.474488°
W100.376587°		 ← 142.85 m → N 76.474488°
W100.371094°		 →
↑
142.90 m
↓
↑
142.90 m
↓
N 76.473203°
W100.376587°		 ← 142.86 m →
20 414 m²		 N 76.473203°
W100.371094°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14495 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10529 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.221183776855469 y=0.160667419433594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.221183776855469 × 216)
    floor (0.221183776855469 × 65536)
    floor (14495.5)     		tx = 14495
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.160667419433594 × 216)
    floor (0.160667419433594 × 65536)
    floor (10529.5)     		ty = 10529
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 14495 / 10529 ti = "16/14495/10529"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/14495/10529.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14495 ÷ 216
    14495 ÷ 65536     		x = 0.221176147460938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10529 ÷ 216
    10529 ÷ 65536     		y = 0.160659790039062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.221176147460938 × 2 - 1) × π
    -0.557647705078125 × 3.1415926535     		Λ = -1.75190193
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.160659790039062 × 2 - 1) × π
    0.678680419921875 × 3.1415926535     		Φ = 2.13213742130086
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.75190193} λ = -1.75190193}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.13213742130086))-π/2
    2×atan(8.43287216266251)-π/2
    2×1.45276396692729-π/2
    2.90552793385458-1.57079632675     		φ = 1.33473161
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.75190193} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -100.376587°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33473161 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.474488°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14495 KachelY 10529 -1.75190193 1.33473161 -100.376587 76.474488
    Oben rechts KachelX + 1 14496 KachelY 10529 -1.75180606 1.33473161 -100.371094 76.474488
    Unten links KachelX 14495 KachelY + 1 10530 -1.75190193 1.33470918 -100.376587 76.473203
    Unten rechts KachelX + 1 14496 KachelY + 1 10530 -1.75180606 1.33470918 -100.371094 76.473203
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33473161-1.33470918) × R
    2.24300000000177e-05 × 6371000     		dl = 142.901530000113m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33473161-1.33470918) × R
    2.24300000000177e-05 × 6371000     		dr = 142.901530000113m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.75190193--1.75180606) × cos(1.33473161) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.23387830569134 × 6371000     		do = 142.850008784589m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.75190193--1.75180606) × cos(1.33470918) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.233900113556156 × 6371000     		du = 142.863328761708m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33473161)-sin(1.33470918))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.23387830569134-0.233900113556156)×R²
    abs(-1.75180606--1.75190193)×2.18078648160092e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.18078648160092e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.18078648160092e-05×40589641000000     		ar = 20414.4365393305m²