Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 14494 / 10526
↖ ↑ ↗
← N 76.478342°
W100.382080°		 ← 142.82 m → N 76.478342°
W100.376587°		 →
↑
142.84 m
↓
↑
142.84 m
↓
N 76.477057°
W100.382080°		 ← 142.84 m →
20 402 m²		 N 76.477057°
W100.376587°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14494 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10526 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.221168518066406 y=0.160621643066406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.221168518066406 × 216)
    floor (0.221168518066406 × 65536)
    floor (14494.5)     		tx = 14494
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.160621643066406 × 216)
    floor (0.160621643066406 × 65536)
    floor (10526.5)     		ty = 10526
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 14494 / 10526 ti = "16/14494/10526"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/14494/10526.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14494 ÷ 216
    14494 ÷ 65536     		x = 0.221160888671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10526 ÷ 216
    10526 ÷ 65536     		y = 0.160614013671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.221160888671875 × 2 - 1) × π
    -0.55767822265625 × 3.1415926535     		Λ = -1.75199781
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.160614013671875 × 2 - 1) × π
    0.67877197265625 × 3.1415926535     		Φ = 2.13242504269858
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.75199781} λ = -1.75199781}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.13242504269858))-π/2
    2×atan(8.43529798598335)-π/2
    2×1.45279759642789-π/2
    2.90559519285578-1.57079632675     		φ = 1.33479887
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.75199781} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -100.382080°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33479887 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.478342°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14494 KachelY 10526 -1.75199781 1.33479887 -100.382080 76.478342
    Oben rechts KachelX + 1 14495 KachelY 10526 -1.75190193 1.33479887 -100.376587 76.478342
    Unten links KachelX 14494 KachelY + 1 10527 -1.75199781 1.33477645 -100.382080 76.477057
    Unten rechts KachelX + 1 14495 KachelY + 1 10527 -1.75190193 1.33477645 -100.376587 76.477057
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33479887-1.33477645) × R
    2.24200000000785e-05 × 6371000     		dl = 142.8378200005m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33479887-1.33477645) × R
    2.24200000000785e-05 × 6371000     		dr = 142.8378200005m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.75199781--1.75190193) × cos(1.33479887) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.233812910559393 × 6371000     		do = 142.824962458219m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.75199781--1.75190193) × cos(1.33477645) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.233834709054251 × 6371000     		du = 142.838278101065m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33479887)-sin(1.33477645))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.233812910559393-0.233834709054251)×R²
    abs(-1.75190193--1.75199781)×2.17984948581718e-05×R²
    9.58799999999371e-05×2.17984948581718e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×2.17984948581718e-05×40589641000000     		ar = 20401.7572688483m²