Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14493 / 9645
↖ ↑ ↗
← N 59.282720°
W 20.775147°		 ← 624.02 m → N 59.282720°
W 20.764160°		 →
↑
624.04 m
↓
↑
624.04 m
↓
N 59.277108°
W 20.775147°		 ← 624.12 m →
389 443 m²		 N 59.277108°
W 20.764160°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14493 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9645 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.442306518554688 y=0.294357299804688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.442306518554688 × 215)
    floor (0.442306518554688 × 32768)
    floor (14493.5)     		tx = 14493
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.294357299804688 × 215)
    floor (0.294357299804688 × 32768)
    floor (9645.5)     		ty = 9645
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14493 / 9645 ti = "15/14493/9645"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14493/9645.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14493 ÷ 215
    14493 ÷ 32768     		x = 0.442291259765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9645 ÷ 215
    9645 ÷ 32768     		y = 0.294342041015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.442291259765625 × 2 - 1) × π
    -0.11541748046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.36259471
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.294342041015625 × 2 - 1) × π
    0.41131591796875 × 3.1415926535     		Φ = 1.29218706615823
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.36259471} λ = -0.36259471}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.29218706615823))-π/2
    2×atan(3.64074039490476)-π/2
    2×1.30273749289551-π/2
    2.60547498579102-1.57079632675     		φ = 1.03467866
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.36259471} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.775147°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.03467866 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 59.282720°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14493 KachelY 9645 -0.36259471 1.03467866 -20.775147 59.282720
    Oben rechts KachelX + 1 14494 KachelY 9645 -0.36240296 1.03467866 -20.764160 59.282720
    Unten links KachelX 14493 KachelY + 1 9646 -0.36259471 1.03458071 -20.775147 59.277108
    Unten rechts KachelX + 1 14494 KachelY + 1 9646 -0.36240296 1.03458071 -20.764160 59.277108
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.03467866-1.03458071) × R
    9.79500000000133e-05 × 6371000     		dl = 624.039450000085m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.03467866-1.03458071) × R
    9.79500000000133e-05 × 6371000     		dr = 624.039450000085m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.36259471--0.36240296) × cos(1.03467866) × R
    0.000191749999999991 × 0.510802214468805 × 6371000     		do = 624.016034181979m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.36259471--0.36240296) × cos(1.03458071) × R
    0.000191749999999991 × 0.510886419462836 × 6371000     		du = 624.118902307733m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.03467866)-sin(1.03458071))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.510802214468805-0.510886419462836)×R²
    abs(-0.36240296--0.36259471)×8.42049940308343e-05×R²
    0.000191749999999991×8.42049940308343e-05×6371000²
    0.000191749999999991×8.42049940308343e-05×40589641000000     		ar = 389442.719957796m²