Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 14493 / 10525
↖ ↑ ↗
← N 76.479626°
W100.387573°		 ← 142.80 m → N 76.479626°
W100.382080°		 →
↑
142.77 m
↓
↑
142.77 m
↓
N 76.478342°
W100.387573°		 ← 142.81 m →
20 389 m²		 N 76.478342°
W100.382080°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14493 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10525 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.221153259277344 y=0.160606384277344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.221153259277344 × 216)
    floor (0.221153259277344 × 65536)
    floor (14493.5)     		tx = 14493
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.160606384277344 × 216)
    floor (0.160606384277344 × 65536)
    floor (10525.5)     		ty = 10525
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 14493 / 10525 ti = "16/14493/10525"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/14493/10525.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14493 ÷ 216
    14493 ÷ 65536     		x = 0.221145629882812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10525 ÷ 216
    10525 ÷ 65536     		y = 0.160598754882812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.221145629882812 × 2 - 1) × π
    -0.557708740234375 × 3.1415926535     		Λ = -1.75209368
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.160598754882812 × 2 - 1) × π
    0.678802490234375 × 3.1415926535     		Φ = 2.13252091649782
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.75209368} λ = -1.75209368}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.13252091649782))-π/2
    2×atan(8.43610674881795)-π/2
    2×1.45280880417172-π/2
    2.90561760834344-1.57079632675     		φ = 1.33482128
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.75209368} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -100.387573°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33482128 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.479626°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14493 KachelY 10525 -1.75209368 1.33482128 -100.387573 76.479626
    Oben rechts KachelX + 1 14494 KachelY 10525 -1.75199781 1.33482128 -100.382080 76.479626
    Unten links KachelX 14493 KachelY + 1 10526 -1.75209368 1.33479887 -100.387573 76.478342
    Unten rechts KachelX + 1 14494 KachelY + 1 10526 -1.75199781 1.33479887 -100.382080 76.478342
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33482128-1.33479887) × R
    2.24100000001393e-05 × 6371000     		dl = 142.774110000887m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33482128-1.33479887) × R
    2.24100000001393e-05 × 6371000     		dr = 142.774110000887m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.75209368--1.75199781) × cos(1.33482128) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.233791121669875 × 6371000     		do = 142.796757850539m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.75209368--1.75199781) × cos(1.33479887) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.233812910559393 × 6371000     		du = 142.810066237778m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33482128)-sin(1.33479887))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.233791121669875-0.233812910559393)×R²
    abs(-1.75199781--1.75209368)×2.17888895173157e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.17888895173157e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.17888895173157e-05×40589641000000     		ar = 20388.630060312m²