Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 14492 / 10524
↖ ↑ ↗
← N 76.480910°
W100.393066°		 ← 142.78 m → N 76.480910°
W100.387573°		 →
↑
142.77 m
↓
↑
142.77 m
↓
N 76.479626°
W100.393066°		 ← 142.80 m →
20 387 m²		 N 76.479626°
W100.387573°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14492 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10524 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.221138000488281 y=0.160591125488281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.221138000488281 × 216)
    floor (0.221138000488281 × 65536)
    floor (14492.5)     		tx = 14492
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.160591125488281 × 216)
    floor (0.160591125488281 × 65536)
    floor (10524.5)     		ty = 10524
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 14492 / 10524 ti = "16/14492/10524"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/14492/10524.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14492 ÷ 216
    14492 ÷ 65536     		x = 0.22113037109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10524 ÷ 216
    10524 ÷ 65536     		y = 0.16058349609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.22113037109375 × 2 - 1) × π
    -0.5577392578125 × 3.1415926535     		Λ = -1.75218955
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.16058349609375 × 2 - 1) × π
    0.6788330078125 × 3.1415926535     		Φ = 2.13261679029706
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.75218955} λ = -1.75218955}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.13261679029706))-π/2
    2×atan(8.43691558919544)-π/2
    2×1.45282001087084-π/2
    2.90564002174168-1.57079632675     		φ = 1.33484369
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.75218955} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -100.393066°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33484369 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.480910°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14492 KachelY 10524 -1.75218955 1.33484369 -100.393066 76.480910
    Oben rechts KachelX + 1 14493 KachelY 10524 -1.75209368 1.33484369 -100.387573 76.480910
    Unten links KachelX 14492 KachelY + 1 10525 -1.75218955 1.33482128 -100.393066 76.479626
    Unten rechts KachelX + 1 14493 KachelY + 1 10525 -1.75209368 1.33482128 -100.387573 76.479626
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33484369-1.33482128) × R
    2.24099999999172e-05 × 6371000     		dl = 142.774109999473m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33484369-1.33482128) × R
    2.24099999999172e-05 × 6371000     		dr = 142.774109999473m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.75218955--1.75209368) × cos(1.33484369) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.233769332662946 × 6371000     		do = 142.783449391586m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.75218955--1.75209368) × cos(1.33482128) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.233791121669875 × 6371000     		du = 142.796757850539m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33484369)-sin(1.33482128))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.233769332662946-0.233791121669875)×R²
    abs(-1.75209368--1.75218955)×2.17890069288684e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.17890069288684e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.17890069288684e-05×40589641000000     		ar = 20386.7299621759m²