Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14491 / 9638
↖ ↑ ↗
← N 59.321981°
W 20.797119°		 ← 623.26 m → N 59.321981°
W 20.786133°		 →
↑
623.34 m
↓
↑
623.34 m
↓
N 59.316375°
W 20.797119°		 ← 623.37 m →
388 536 m²		 N 59.316375°
W 20.786133°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14491 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9638 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.442245483398438 y=0.294143676757812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.442245483398438 × 215)
    floor (0.442245483398438 × 32768)
    floor (14491.5)     		tx = 14491
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.294143676757812 × 215)
    floor (0.294143676757812 × 32768)
    floor (9638.5)     		ty = 9638
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14491 / 9638 ti = "15/14491/9638"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14491/9638.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14491 ÷ 215
    14491 ÷ 32768     		x = 0.442230224609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9638 ÷ 215
    9638 ÷ 32768     		y = 0.29412841796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.442230224609375 × 2 - 1) × π
    -0.11553955078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.36297820
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.29412841796875 × 2 - 1) × π
    0.4117431640625 × 3.1415926535     		Φ = 1.2935292993476
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.36297820} λ = -0.36297820}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.2935292993476))-π/2
    2×atan(3.64563039852508)-π/2
    2×1.30308010300241-π/2
    2.60616020600482-1.57079632675     		φ = 1.03536388
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.36297820} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.797119°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.03536388 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 59.321981°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14491 KachelY 9638 -0.36297820 1.03536388 -20.797119 59.321981
    Oben rechts KachelX + 1 14492 KachelY 9638 -0.36278646 1.03536388 -20.786133 59.321981
    Unten links KachelX 14491 KachelY + 1 9639 -0.36297820 1.03526604 -20.797119 59.316375
    Unten rechts KachelX + 1 14492 KachelY + 1 9639 -0.36278646 1.03526604 -20.786133 59.316375
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.03536388-1.03526604) × R
    9.78400000000157e-05 × 6371000     		dl = 623.3386400001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.03536388-1.03526604) × R
    9.78400000000157e-05 × 6371000     		dr = 623.3386400001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.36297820--0.36278646) × cos(1.03536388) × R
    0.000191739999999996 × 0.510213012155836 × 6371000     		do = 623.263735839279m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.36297820--0.36278646) × cos(1.03526604) × R
    0.000191739999999996 × 0.510297156816794 × 6371000     		du = 623.366524898926m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.03536388)-sin(1.03526604))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.510213012155836-0.510297156816794)×R²
    abs(-0.36278646--0.36297820)×8.41446609577412e-05×R²
    0.000191739999999996×8.41446609577412e-05×6371000²
    0.000191739999999996×8.41446609577412e-05×40589641000000     		ar = 388536.405965725m²