Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 1449 / 695
↖ ↑ ↗
← N 81.576408°
W116.323242°		 ← 715.82 m → N 81.576408°
W116.279297°		 →
↑
716.10 m
↓
↑
716.10 m
↓
N 81.569968°
W116.323242°		 ← 716.37 m →
512 796 m²		 N 81.569968°
W116.279297°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1449 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 695 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.17694091796875 y=0.08489990234375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.17694091796875 × 213)
    floor (0.17694091796875 × 8192)
    floor (1449.5)     		tx = 1449
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.08489990234375 × 213)
    floor (0.08489990234375 × 8192)
    floor (695.5)     		ty = 695
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 1449 / 695 ti = "13/1449/695"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/1449/695.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1449 ÷ 213
    1449 ÷ 8192     		x = 0.1768798828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 695 ÷ 213
    695 ÷ 8192     		y = 0.0848388671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.1768798828125 × 2 - 1) × π
    -0.646240234375 × 3.1415926535     		Λ = -2.03022357
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0848388671875 × 2 - 1) × π
    0.830322265625 × 3.1415926535     		Φ = 2.60853432972498
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.03022357} λ = -2.03022357}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.60853432972498))-π/2
    2×atan(13.5791337267634)-π/2
    2×1.49728662100265-π/2
    2.99457324200531-1.57079632675     		φ = 1.42377692
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.03022357} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -116.323242°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.42377692 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.576408°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1449 KachelY 695 -2.03022357 1.42377692 -116.323242 81.576408
    Oben rechts KachelX + 1 1450 KachelY 695 -2.02945658 1.42377692 -116.279297 81.576408
    Unten links KachelX 1449 KachelY + 1 696 -2.03022357 1.42366452 -116.323242 81.569968
    Unten rechts KachelX + 1 1450 KachelY + 1 696 -2.02945658 1.42366452 -116.279297 81.569968
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.42377692-1.42366452) × R
    0.000112399999999901 × 6371000     		dl = 716.100399999372m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.42377692-1.42366452) × R
    0.000112399999999901 × 6371000     		dr = 716.100399999372m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.03022357--2.02945658) × cos(1.42377692) × R
    0.000766989999999801 × 0.146490348682076 × 6371000     		do = 715.824105884537m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.03022357--2.02945658) × cos(1.42366452) × R
    0.000766989999999801 × 0.14660153519646 × 6371000     		du = 716.367418041016m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.42377692)-sin(1.42366452))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.146490348682076-0.14660153519646)×R²
    abs(-2.02945658--2.03022357)×0.000111186514384548×R²
    0.000766989999999801×0.000111186514384548×6371000²
    0.000766989999999801×0.000111186514384548×40589641000000     		ar = 512796.462119293m²