Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14489 / 21701
↖ ↑ ↗
← S 50.324423°
W 20.819092°		 ← 779.94 m → S 50.324423°
W 20.808105°		 →
↑
779.87 m
↓
↑
779.87 m
↓
S 50.331436°
W 20.819092°		 ← 779.83 m →
608 213 m²		 S 50.331436°
W 20.808105°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14489 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21701 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.442184448242188 y=0.662277221679688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.442184448242188 × 215)
    floor (0.442184448242188 × 32768)
    floor (14489.5)     		tx = 14489
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.662277221679688 × 215)
    floor (0.662277221679688 × 32768)
    floor (21701.5)     		ty = 21701
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14489 / 21701 ti = "15/14489/21701"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14489/21701.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14489 ÷ 215
    14489 ÷ 32768     		x = 0.442169189453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21701 ÷ 215
    21701 ÷ 32768     		y = 0.662261962890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.442169189453125 × 2 - 1) × π
    -0.11566162109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.36336170
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.662261962890625 × 2 - 1) × π
    -0.32452392578125 × 3.1415926535     		Φ = -1.01952198111935
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.36336170} λ = -0.36336170}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.01952198111935))-π/2
    2×atan(0.360767352567653)-π/2
    2×0.346234727923524-π/2
    0.692469455847048-1.57079632675     		φ = -0.87832687
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.36336170} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.819092°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.87832687 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -50.324423°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14489 KachelY 21701 -0.36336170 -0.87832687 -20.819092 -50.324423
    Oben rechts KachelX + 1 14490 KachelY 21701 -0.36316995 -0.87832687 -20.808105 -50.324423
    Unten links KachelX 14489 KachelY + 1 21702 -0.36336170 -0.87844928 -20.819092 -50.331436
    Unten rechts KachelX + 1 14490 KachelY + 1 21702 -0.36316995 -0.87844928 -20.808105 -50.331436
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.87832687--0.87844928) × R
    0.000122410000000017 × 6371000     		dl = 779.87411000011m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.87832687--0.87844928) × R
    0.000122410000000017 × 6371000     		dr = 779.87411000011m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.36336170--0.36316995) × cos(-0.87832687) × R
    0.000191749999999991 × 0.638439798128602 × 6371000     		do = 779.943116155939m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.36336170--0.36316995) × cos(-0.87844928) × R
    0.000191749999999991 × 0.638345577824959 × 6371000     		du = 779.828012934862m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.87832687)-sin(-0.87844928))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.638439798128602-0.638345577824959)×R²
    abs(-0.36316995--0.36336170)×9.42203036428113e-05×R²
    0.000191749999999991×9.42203036428113e-05×6371000²
    0.000191749999999991×9.42203036428113e-05×40589641000000     		ar = 608212.561311468m²