Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 14485 / 14379
↖ ↑ ↗
← N 70.534052°
W100.431518°		 ← 203.54 m → N 70.534052°
W100.426026°		 →
↑
203.62 m
↓
↑
203.62 m
↓
N 70.532221°
W100.431518°		 ← 203.56 m →
41 447 m²		 N 70.532221°
W100.426026°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14485 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14379 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.221031188964844 y=0.219413757324219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.221031188964844 × 216)
    floor (0.221031188964844 × 65536)
    floor (14485.5)     		tx = 14485
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.219413757324219 × 216)
    floor (0.219413757324219 × 65536)
    floor (14379.5)     		ty = 14379
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 14485 / 14379 ti = "16/14485/14379"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/14485/14379.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14485 ÷ 216
    14485 ÷ 65536     		x = 0.221023559570312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14379 ÷ 216
    14379 ÷ 65536     		y = 0.219406127929688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.221023559570312 × 2 - 1) × π
    -0.557952880859375 × 3.1415926535     		Λ = -1.75286067
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.219406127929688 × 2 - 1) × π
    0.561187744140625 × 3.1415926535     		Φ = 1.76302329422643
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.75286067} λ = -1.75286067}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.76302329422643))-π/2
    2×atan(5.83003669334273)-π/2
    2×1.40092388610935-π/2
    2.8018477722187-1.57079632675     		φ = 1.23105145
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.75286067} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -100.431518°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.23105145 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.534052°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14485 KachelY 14379 -1.75286067 1.23105145 -100.431518 70.534052
    Oben rechts KachelX + 1 14486 KachelY 14379 -1.75276480 1.23105145 -100.426026 70.534052
    Unten links KachelX 14485 KachelY + 1 14380 -1.75286067 1.23101949 -100.431518 70.532221
    Unten rechts KachelX + 1 14486 KachelY + 1 14380 -1.75276480 1.23101949 -100.426026 70.532221
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.23105145-1.23101949) × R
    3.19600000000531e-05 × 6371000     		dl = 203.617160000338m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.23105145-1.23101949) × R
    3.19600000000531e-05 × 6371000     		dr = 203.617160000338m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.75286067--1.75276480) × cos(1.23105145) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.333246562698549 × 6371000     		do = 203.542924890807m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.75286067--1.75276480) × cos(1.23101949) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.333276695685644 × 6371000     		du = 203.561329750799m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.23105145)-sin(1.23101949))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.333246562698549-0.333276695685644)×R²
    abs(-1.75276480--1.75286067)×3.01329870949218e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.01329870949218e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.01329870949218e-05×40589641000000     		ar = 41446.7060808884m²