Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14483 / 21103
↖ ↑ ↗
← S 45.943511°
W 20.885009°		 ← 849.44 m → S 45.943511°
W 20.874024°		 →
↑
849.45 m
↓
↑
849.45 m
↓
S 45.951150°
W 20.885009°		 ← 849.33 m →
721 506 m²		 S 45.951150°
W 20.874024°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14483 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21103 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.442001342773438 y=0.644027709960938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.442001342773438 × 215)
    floor (0.442001342773438 × 32768)
    floor (14483.5)     		tx = 14483
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.644027709960938 × 215)
    floor (0.644027709960938 × 32768)
    floor (21103.5)     		ty = 21103
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14483 / 21103 ti = "15/14483/21103"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14483/21103.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14483 ÷ 215
    14483 ÷ 32768     		x = 0.441986083984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21103 ÷ 215
    21103 ÷ 32768     		y = 0.644012451171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.441986083984375 × 2 - 1) × π
    -0.11602783203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.36451218
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.644012451171875 × 2 - 1) × π
    -0.28802490234375 × 3.1415926535     		Φ = -0.90485691722818
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.36451218} λ = -0.36451218}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.90485691722818))-π/2
    2×atan(0.404599772218482)-π/2
    2×0.384465397758182-π/2
    0.768930795516363-1.57079632675     		φ = -0.80186553
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.36451218} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.885009°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.80186553 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -45.943511°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14483 KachelY 21103 -0.36451218 -0.80186553 -20.885009 -45.943511
    Oben rechts KachelX + 1 14484 KachelY 21103 -0.36432044 -0.80186553 -20.874024 -45.943511
    Unten links KachelX 14483 KachelY + 1 21104 -0.36451218 -0.80199886 -20.885009 -45.951150
    Unten rechts KachelX + 1 14484 KachelY + 1 21104 -0.36432044 -0.80199886 -20.874024 -45.951150
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.80186553--0.80199886) × R
    0.000133329999999932 × 6371000     		dl = 849.445429999564m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.80186553--0.80199886) × R
    0.000133329999999932 × 6371000     		dr = 849.445429999564m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.36451218--0.36432044) × cos(-0.80186553) × R
    0.000191739999999996 × 0.695367248475386 × 6371000     		do = 849.443622054615m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.36451218--0.36432044) × cos(-0.80199886) × R
    0.000191739999999996 × 0.695271424081233 × 6371000     		du = 849.326565318583m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.80186553)-sin(-0.80199886))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.695367248475386-0.695271424081233)×R²
    abs(-0.36432044--0.36451218)×9.58243941528991e-05×R²
    0.000191739999999996×9.58243941528991e-05×6371000²
    0.000191739999999996×9.58243941528991e-05×40589641000000     		ar = 721506.287210709m²