Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 14483 / 10383
↖ ↑ ↗
← N 76.660788°
W100.442505°		 ← 140.92 m → N 76.660788°
W100.437012°		 →
↑
140.93 m
↓
↑
140.93 m
↓
N 76.659520°
W100.442505°		 ← 140.93 m →
19 860 m²		 N 76.659520°
W100.437012°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14483 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10383 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.221000671386719 y=0.158439636230469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.221000671386719 × 216)
    floor (0.221000671386719 × 65536)
    floor (14483.5)     		tx = 14483
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.158439636230469 × 216)
    floor (0.158439636230469 × 65536)
    floor (10383.5)     		ty = 10383
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 14483 / 10383 ti = "16/14483/10383"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/14483/10383.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14483 ÷ 216
    14483 ÷ 65536     		x = 0.220993041992188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10383 ÷ 216
    10383 ÷ 65536     		y = 0.158432006835938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.220993041992188 × 2 - 1) × π
    -0.558013916015625 × 3.1415926535     		Λ = -1.75305242
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.158432006835938 × 2 - 1) × π
    0.683135986328125 × 3.1415926535     		Φ = 2.14613499598991
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.75305242} λ = -1.75305242}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.14613499598991))-π/2
    2×atan(8.55174192392293)-π/2
    2×1.45438974061303-π/2
    2.90877948122605-1.57079632675     		φ = 1.33798315
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.75305242} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -100.442505°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33798315 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.660788°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14483 KachelY 10383 -1.75305242 1.33798315 -100.442505 76.660788
    Oben rechts KachelX + 1 14484 KachelY 10383 -1.75295655 1.33798315 -100.437012 76.660788
    Unten links KachelX 14483 KachelY + 1 10384 -1.75305242 1.33796103 -100.442505 76.659520
    Unten rechts KachelX + 1 14484 KachelY + 1 10384 -1.75295655 1.33796103 -100.437012 76.659520
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33798315-1.33796103) × R
    2.21199999999033e-05 × 6371000     		dl = 140.926519999384m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33798315-1.33796103) × R
    2.21199999999033e-05 × 6371000     		dr = 140.926519999384m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.75305242--1.75295655) × cos(1.33798315) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.230715713528413 × 6371000     		do = 140.918336169975m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.75305242--1.75295655) × cos(1.33796103) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.230737236700956 × 6371000     		du = 140.931482260536m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33798315)-sin(1.33796103))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.230715713528413-0.230737236700956)×R²
    abs(-1.75295655--1.75305242)×2.15231725423093e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.15231725423093e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.15231725423093e-05×40589641000000     		ar = 19860.0570376231m²