Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 14482 / 10382
↖ ↑ ↗
← N 76.662055°
W100.447998°		 ← 140.91 m → N 76.662055°
W100.442505°		 →
↑
140.93 m
↓
↑
140.93 m
↓
N 76.660788°
W100.447998°		 ← 140.92 m →
19 858 m²		 N 76.660788°
W100.442505°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14482 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10382 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.220985412597656 y=0.158424377441406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.220985412597656 × 216)
    floor (0.220985412597656 × 65536)
    floor (14482.5)     		tx = 14482
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.158424377441406 × 216)
    floor (0.158424377441406 × 65536)
    floor (10382.5)     		ty = 10382
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 14482 / 10382 ti = "16/14482/10382"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/14482/10382.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14482 ÷ 216
    14482 ÷ 65536     		x = 0.220977783203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10382 ÷ 216
    10382 ÷ 65536     		y = 0.158416748046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.220977783203125 × 2 - 1) × π
    -0.55804443359375 × 3.1415926535     		Λ = -1.75314829
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.158416748046875 × 2 - 1) × π
    0.68316650390625 × 3.1415926535     		Φ = 2.14623086978915
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.75314829} λ = -1.75314829}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.14623086978915))-π/2
    2×atan(8.55256185121544)-π/2
    2×1.45440079989297-π/2
    2.90880159978593-1.57079632675     		φ = 1.33800527
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.75314829} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -100.447998°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33800527 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.662055°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14482 KachelY 10382 -1.75314829 1.33800527 -100.447998 76.662055
    Oben rechts KachelX + 1 14483 KachelY 10382 -1.75305242 1.33800527 -100.442505 76.662055
    Unten links KachelX 14482 KachelY + 1 10383 -1.75314829 1.33798315 -100.447998 76.660788
    Unten rechts KachelX + 1 14483 KachelY + 1 10383 -1.75305242 1.33798315 -100.442505 76.660788
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33800527-1.33798315) × R
    2.21200000001254e-05 × 6371000     		dl = 140.926520000799m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33800527-1.33798315) × R
    2.21200000001254e-05 × 6371000     		dr = 140.926520000799m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.75314829--1.75305242) × cos(1.33800527) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.230694190242983 × 6371000     		do = 140.905190010464m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.75314829--1.75305242) × cos(1.33798315) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.230715713528413 × 6371000     		du = 140.918336169975m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33800527)-sin(1.33798315))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.230694190242983-0.230715713528413)×R²
    abs(-1.75305242--1.75314829)×2.15232854304526e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.15232854304526e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.15232854304526e-05×40589641000000     		ar = 19858.2044003796m²