Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 14481 / 10385
↖ ↑ ↗
← N 76.658253°
W100.453491°		 ← 140.96 m → N 76.658253°
W100.447998°		 →
↑
140.93 m
↓
↑
140.93 m
↓
N 76.656985°
W100.453491°		 ← 140.97 m →
19 866 m²		 N 76.656985°
W100.447998°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14481 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10385 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.220970153808594 y=0.158470153808594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.220970153808594 × 216)
    floor (0.220970153808594 × 65536)
    floor (14481.5)     		tx = 14481
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.158470153808594 × 216)
    floor (0.158470153808594 × 65536)
    floor (10385.5)     		ty = 10385
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 14481 / 10385 ti = "16/14481/10385"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/14481/10385.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14481 ÷ 216
    14481 ÷ 65536     		x = 0.220962524414062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10385 ÷ 216
    10385 ÷ 65536     		y = 0.158462524414062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.220962524414062 × 2 - 1) × π
    -0.558074951171875 × 3.1415926535     		Λ = -1.75324417
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.158462524414062 × 2 - 1) × π
    0.683074951171875 × 3.1415926535     		Φ = 2.14594324839143
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.75324417} λ = -1.75324417}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.14594324839143))-π/2
    2×atan(8.5501023051477)-π/2
    2×1.45436761895784-π/2
    2.90873523791568-1.57079632675     		φ = 1.33793891
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.75324417} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -100.453491°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33793891 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.658253°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14481 KachelY 10385 -1.75324417 1.33793891 -100.453491 76.658253
    Oben rechts KachelX + 1 14482 KachelY 10385 -1.75314829 1.33793891 -100.447998 76.658253
    Unten links KachelX 14481 KachelY + 1 10386 -1.75324417 1.33791679 -100.453491 76.656985
    Unten rechts KachelX + 1 14482 KachelY + 1 10386 -1.75314829 1.33791679 -100.447998 76.656985
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33793891-1.33791679) × R
    2.21200000001254e-05 × 6371000     		dl = 140.926520000799m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33793891-1.33791679) × R
    2.21200000001254e-05 × 6371000     		dr = 140.926520000799m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.75324417--1.75314829) × cos(1.33793891) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.2307587597606 × 6371000     		do = 140.959329922961m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.75324417--1.75314829) × cos(1.33791679) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.230780282707335 × 6371000     		du = 140.972477246828m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33793891)-sin(1.33791679))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.2307587597606-0.230780282707335)×R²
    abs(-1.75314829--1.75324417)×2.15229467351308e-05×R²
    9.58800000001592e-05×2.15229467351308e-05×6371000²
    9.58800000001592e-05×2.15229467351308e-05×40589641000000     		ar = 19865.834231729m²