Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 14480 / 14318
↖ ↑ ↗
← N 70.645410°
W100.458984°		 ← 202.42 m → N 70.645410°
W100.453491°		 →
↑
202.47 m
↓
↑
202.47 m
↓
N 70.643589°
W100.458984°		 ← 202.44 m →
40 987 m²		 N 70.643589°
W100.453491°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14480 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14318 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.220954895019531 y=0.218482971191406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.220954895019531 × 216)
    floor (0.220954895019531 × 65536)
    floor (14480.5)     		tx = 14480
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.218482971191406 × 216)
    floor (0.218482971191406 × 65536)
    floor (14318.5)     		ty = 14318
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 14480 / 14318 ti = "16/14480/14318"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/14480/14318.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14480 ÷ 216
    14480 ÷ 65536     		x = 0.220947265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14318 ÷ 216
    14318 ÷ 65536     		y = 0.218475341796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.220947265625 × 2 - 1) × π
    -0.55810546875 × 3.1415926535     		Λ = -1.75334004
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.218475341796875 × 2 - 1) × π
    0.56304931640625 × 3.1415926535     		Φ = 1.76887159598007
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.75334004} λ = -1.75334004}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.76887159598007))-π/2
    2×atan(5.86423240310971)-π/2
    2×1.40189566706842-π/2
    2.80379133413684-1.57079632675     		φ = 1.23299501
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.75334004} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -100.458984°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.23299501 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.645410°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14480 KachelY 14318 -1.75334004 1.23299501 -100.458984 70.645410
    Oben rechts KachelX + 1 14481 KachelY 14318 -1.75324417 1.23299501 -100.453491 70.645410
    Unten links KachelX 14480 KachelY + 1 14319 -1.75334004 1.23296323 -100.458984 70.643589
    Unten rechts KachelX + 1 14481 KachelY + 1 14319 -1.75324417 1.23296323 -100.453491 70.643589
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.23299501-1.23296323) × R
    3.17800000000368e-05 × 6371000     		dl = 202.470380000234m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.23299501-1.23296323) × R
    3.17800000000368e-05 × 6371000     		dr = 202.470380000234m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.75334004--1.75324417) × cos(1.23299501) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.331413468888624 × 6371000     		do = 202.423293610443m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.75334004--1.75324417) × cos(1.23296323) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.331443452694222 × 6371000     		du = 202.4416073522m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.23299501)-sin(1.23296323))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.331413468888624-0.331443452694222)×R²
    abs(-1.75324417--1.75334004)×2.99838055978219e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.99838055978219e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.99838055978219e-05×40589641000000     		ar = 40986.5751764874m²