Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14478 / 9646
↖ ↑ ↗
← N 59.277108°
W 20.939941°		 ← 624.09 m → N 59.277108°
W 20.928955°		 →
↑
624.17 m
↓
↑
624.17 m
↓
N 59.271495°
W 20.939941°		 ← 624.19 m →
389 566 m²		 N 59.271495°
W 20.928955°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14478 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9646 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.441848754882812 y=0.294387817382812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.441848754882812 × 215)
    floor (0.441848754882812 × 32768)
    floor (14478.5)     		tx = 14478
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.294387817382812 × 215)
    floor (0.294387817382812 × 32768)
    floor (9646.5)     		ty = 9646
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14478 / 9646 ti = "15/14478/9646"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14478/9646.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14478 ÷ 215
    14478 ÷ 32768     		x = 0.44183349609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9646 ÷ 215
    9646 ÷ 32768     		y = 0.29437255859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.44183349609375 × 2 - 1) × π
    -0.1163330078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.36547092
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.29437255859375 × 2 - 1) × π
    0.4112548828125 × 3.1415926535     		Φ = 1.29199531855975
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.36547092} λ = -0.36547092}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.29199531855975))-π/2
    2×atan(3.64004235860288)-π/2
    2×1.30268851630988-π/2
    2.60537703261976-1.57079632675     		φ = 1.03458071
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.36547092} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.939941°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.03458071 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 59.277108°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14478 KachelY 9646 -0.36547092 1.03458071 -20.939941 59.277108
    Oben rechts KachelX + 1 14479 KachelY 9646 -0.36527918 1.03458071 -20.928955 59.277108
    Unten links KachelX 14478 KachelY + 1 9647 -0.36547092 1.03448274 -20.939941 59.271495
    Unten rechts KachelX + 1 14479 KachelY + 1 9647 -0.36527918 1.03448274 -20.928955 59.271495
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.03458071-1.03448274) × R
    9.79699999998918e-05 × 6371000     		dl = 624.16686999931m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.03458071-1.03448274) × R
    9.79699999998918e-05 × 6371000     		dr = 624.16686999931m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.36547092--0.36527918) × cos(1.03458071) × R
    0.000191739999999996 × 0.510886419462836 × 6371000     		do = 624.086353733966m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.36547092--0.36527918) × cos(1.03448274) × R
    0.000191739999999996 × 0.510970636747282 × 6371000     		du = 624.189231508691m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.03458071)-sin(1.03448274))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.510886419462836-0.510970636747282)×R²
    abs(-0.36527918--0.36547092)×8.42172844465194e-05×R²
    0.000191739999999996×8.42172844465194e-05×6371000²
    0.000191739999999996×8.42172844465194e-05×40589641000000     		ar = 389566.132780649m²