Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14478 / 21132
↖ ↑ ↗
← S 46.164614°
W 20.939941°		 ← 846.05 m → S 46.164614°
W 20.928955°		 →
↑
846.01 m
↓
↑
846.01 m
↓
S 46.172223°
W 20.939941°		 ← 845.93 m →
715 713 m²		 S 46.172223°
W 20.928955°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14478 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21132 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.441848754882812 y=0.644912719726562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.441848754882812 × 215)
    floor (0.441848754882812 × 32768)
    floor (14478.5)     		tx = 14478
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.644912719726562 × 215)
    floor (0.644912719726562 × 32768)
    floor (21132.5)     		ty = 21132
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14478 / 21132 ti = "15/14478/21132"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14478/21132.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14478 ÷ 215
    14478 ÷ 32768     		x = 0.44183349609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21132 ÷ 215
    21132 ÷ 32768     		y = 0.6448974609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.44183349609375 × 2 - 1) × π
    -0.1163330078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.36547092
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6448974609375 × 2 - 1) × π
    -0.289794921875 × 3.1415926535     		Φ = -0.910417597584106
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.36547092} λ = -0.36547092}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.910417597584106))-π/2
    2×atan(0.402356165982895)-π/2
    2×0.382535902964079-π/2
    0.765071805928159-1.57079632675     		φ = -0.80572452
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.36547092} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.939941°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.80572452 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -46.164614°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14478 KachelY 21132 -0.36547092 -0.80572452 -20.939941 -46.164614
    Oben rechts KachelX + 1 14479 KachelY 21132 -0.36527918 -0.80572452 -20.928955 -46.164614
    Unten links KachelX 14478 KachelY + 1 21133 -0.36547092 -0.80585731 -20.939941 -46.172223
    Unten rechts KachelX + 1 14479 KachelY + 1 21133 -0.36527918 -0.80585731 -20.928955 -46.172223
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.80572452--0.80585731) × R
    0.000132789999999994 × 6371000     		dl = 846.00508999996m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.80572452--0.80585731) × R
    0.000132789999999994 × 6371000     		dr = 846.00508999996m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.36547092--0.36527918) × cos(-0.80572452) × R
    0.000191739999999996 × 0.692588796932904 × 6371000     		do = 846.049533611244m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.36547092--0.36527918) × cos(-0.80585731) × R
    0.000191739999999996 × 0.692493005067411 × 6371000     		du = 845.932516611427m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.80572452)-sin(-0.80585731))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.692588796932904-0.692493005067411)×R²
    abs(-0.36527918--0.36547092)×9.57918654928003e-05×R²
    0.000191739999999996×9.57918654928003e-05×6371000²
    0.000191739999999996×9.57918654928003e-05×40589641000000     		ar = 715712.714390601m²