Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 14473 / 21742
↖ ↑ ↗
← S 50.611132°
W 20.994873°		 ← 775.23 m → S 50.611132°
W 20.983887°		 →
↑
775.16 m
↓
↑
775.16 m
↓
S 50.618103°
W 20.994873°		 ← 775.11 m →
600 881 m²		 S 50.618103°
W 20.983887°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14473 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21742 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.441696166992188 y=0.663528442382812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.441696166992188 × 215)
    floor (0.441696166992188 × 32768)
    floor (14473.5)     		tx = 14473
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.663528442382812 × 215)
    floor (0.663528442382812 × 32768)
    floor (21742.5)     		ty = 21742
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14473 / 21742 ti = "15/14473/21742"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14473/21742.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14473 ÷ 215
    14473 ÷ 32768     		x = 0.441680908203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21742 ÷ 215
    21742 ÷ 32768     		y = 0.66351318359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.441680908203125 × 2 - 1) × π
    -0.11663818359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.36642966
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.66351318359375 × 2 - 1) × π
    -0.3270263671875 × 3.1415926535     		Φ = -1.02738363265704
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.36642966} λ = -0.36642966}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.02738363265704))-π/2
    2×atan(0.357942244912163)-π/2
    2×0.343732720127757-π/2
    0.687465440255515-1.57079632675     		φ = -0.88333089
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.36642966} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.994873°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.88333089 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -50.611132°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14473 KachelY 21742 -0.36642966 -0.88333089 -20.994873 -50.611132
    Oben rechts KachelX + 1 14474 KachelY 21742 -0.36623791 -0.88333089 -20.983887 -50.611132
    Unten links KachelX 14473 KachelY + 1 21743 -0.36642966 -0.88345256 -20.994873 -50.618103
    Unten rechts KachelX + 1 14474 KachelY + 1 21743 -0.36623791 -0.88345256 -20.983887 -50.618103
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.88333089--0.88345256) × R
    0.000121670000000074 × 6371000     		dl = 775.159570000469m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.88333089--0.88345256) × R
    0.000121670000000074 × 6371000     		dr = 775.159570000469m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.36642966--0.36623791) × cos(-0.88333089) × R
    0.000191749999999991 × 0.634580367983464 × 6371000     		do = 775.228284808005m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.36642966--0.36623791) × cos(-0.88345256) × R
    0.000191749999999991 × 0.634486329790104 × 6371000     		du = 775.113404059997m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.88333089)-sin(-0.88345256))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.634580367983464-0.634486329790104)×R²
    abs(-0.36623791--0.36642966)×9.40381933600687e-05×R²
    0.000191749999999991×9.40381933600687e-05×6371000²
    0.000191749999999991×9.40381933600687e-05×40589641000000     		ar = 600881.099189227m²