Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 14473 / 21683
↖ ↑ ↗
← S 50.198001°
W 20.994873°		 ← 782.02 m → S 50.198001°
W 20.983887°		 →
↑
781.91 m
↓
↑
781.91 m
↓
S 50.205033°
W 20.994873°		 ← 781.90 m →
611 423 m²		 S 50.205033°
W 20.983887°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14473 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21683 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.441696166992188 y=0.661727905273438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.441696166992188 × 215)
    floor (0.441696166992188 × 32768)
    floor (14473.5)     		tx = 14473
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.661727905273438 × 215)
    floor (0.661727905273438 × 32768)
    floor (21683.5)     		ty = 21683
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14473 / 21683 ti = "15/14473/21683"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14473/21683.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14473 ÷ 215
    14473 ÷ 32768     		x = 0.441680908203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21683 ÷ 215
    21683 ÷ 32768     		y = 0.661712646484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.441680908203125 × 2 - 1) × π
    -0.11663818359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.36642966
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.661712646484375 × 2 - 1) × π
    -0.32342529296875 × 3.1415926535     		Φ = -1.01607052434671
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.36642966} λ = -0.36642966}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.01607052434671))-π/2
    2×atan(0.362014676794613)-π/2
    2×0.347337965431709-π/2
    0.694675930863419-1.57079632675     		φ = -0.87612040
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.36642966} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.994873°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.87612040 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -50.198001°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14473 KachelY 21683 -0.36642966 -0.87612040 -20.994873 -50.198001
    Oben rechts KachelX + 1 14474 KachelY 21683 -0.36623791 -0.87612040 -20.983887 -50.198001
    Unten links KachelX 14473 KachelY + 1 21684 -0.36642966 -0.87624313 -20.994873 -50.205033
    Unten rechts KachelX + 1 14474 KachelY + 1 21684 -0.36623791 -0.87624313 -20.983887 -50.205033
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.87612040--0.87624313) × R
    0.00012272999999996 × 6371000     		dl = 781.912829999744m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.87612040--0.87624313) × R
    0.00012272999999996 × 6371000     		dr = 781.912829999744m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.36642966--0.36623791) × cos(-0.87612040) × R
    0.000191749999999991 × 0.640136500282931 × 6371000     		do = 782.015874103226m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.36642966--0.36623791) × cos(-0.87624313) × R
    0.000191749999999991 × 0.640042206765847 × 6371000     		du = 781.900681441736m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.87612040)-sin(-0.87624313))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.640136500282931-0.640042206765847)×R²
    abs(-0.36623791--0.36642966)×9.42935170838988e-05×R²
    0.000191749999999991×9.42935170838988e-05×6371000²
    0.000191749999999991×9.42935170838988e-05×40589641000000     		ar = 611423.210682295m²