Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14473 / 21127
↖ ↑ ↗
← S 46.126556°
W 20.994873°		 ← 846.68 m → S 46.126556°
W 20.983887°		 →
↑
846.58 m
↓
↑
846.58 m
↓
S 46.134170°
W 20.994873°		 ← 846.56 m →
716 731 m²		 S 46.134170°
W 20.983887°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14473 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21127 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.441696166992188 y=0.644760131835938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.441696166992188 × 215)
    floor (0.441696166992188 × 32768)
    floor (14473.5)     		tx = 14473
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.644760131835938 × 215)
    floor (0.644760131835938 × 32768)
    floor (21127.5)     		ty = 21127
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14473 / 21127 ti = "15/14473/21127"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14473/21127.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14473 ÷ 215
    14473 ÷ 32768     		x = 0.441680908203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21127 ÷ 215
    21127 ÷ 32768     		y = 0.644744873046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.441680908203125 × 2 - 1) × π
    -0.11663818359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.36642966
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.644744873046875 × 2 - 1) × π
    -0.28948974609375 × 3.1415926535     		Φ = -0.909458859591705
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.36642966} λ = -0.36642966}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.909458859591705))-π/2
    2×atan(0.402742105103387)-π/2
    2×0.382868023364584-π/2
    0.765736046729168-1.57079632675     		φ = -0.80506028
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.36642966} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.994873°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.80506028 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -46.126556°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14473 KachelY 21127 -0.36642966 -0.80506028 -20.994873 -46.126556
    Oben rechts KachelX + 1 14474 KachelY 21127 -0.36623791 -0.80506028 -20.983887 -46.126556
    Unten links KachelX 14473 KachelY + 1 21128 -0.36642966 -0.80519316 -20.994873 -46.134170
    Unten rechts KachelX + 1 14474 KachelY + 1 21128 -0.36623791 -0.80519316 -20.983887 -46.134170
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.80506028--0.80519316) × R
    0.000132880000000002 × 6371000     		dl = 846.578480000012m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.80506028--0.80519316) × R
    0.000132880000000002 × 6371000     		dr = 846.578480000012m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.36642966--0.36623791) × cos(-0.80506028) × R
    0.000191749999999991 × 0.693067782091439 × 6371000     		do = 846.678805513307m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.36642966--0.36623791) × cos(-0.80519316) × R
    0.000191749999999991 × 0.692971986445446 × 6371000     		du = 846.561777792183m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.80506028)-sin(-0.80519316))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.693067782091439-0.692971986445446)×R²
    abs(-0.36623791--0.36642966)×9.57956459928244e-05×R²
    0.000191749999999991×9.57956459928244e-05×6371000²
    0.000191749999999991×9.57956459928244e-05×40589641000000     		ar = 716730.520699129m²