Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 14472 / 10121
↖ ↑ ↗
← N 76.988809°
W100.502930°		 ← 137.51 m → N 76.988809°
W100.497437°		 →
↑
137.55 m
↓
↑
137.55 m
↓
N 76.987572°
W100.502930°		 ← 137.53 m →
18 916 m²		 N 76.987572°
W100.497437°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14472 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10121 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.220832824707031 y=0.154441833496094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.220832824707031 × 216)
    floor (0.220832824707031 × 65536)
    floor (14472.5)     		tx = 14472
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.154441833496094 × 216)
    floor (0.154441833496094 × 65536)
    floor (10121.5)     		ty = 10121
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 14472 / 10121 ti = "16/14472/10121"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/14472/10121.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14472 ÷ 216
    14472 ÷ 65536     		x = 0.2208251953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10121 ÷ 216
    10121 ÷ 65536     		y = 0.154434204101562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.2208251953125 × 2 - 1) × π
    -0.558349609375 × 3.1415926535     		Λ = -1.75410703
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.154434204101562 × 2 - 1) × π
    0.691131591796875 × 3.1415926535     		Φ = 2.17125393139082
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.75410703} λ = -1.75410703}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.17125393139082))-π/2
    2×atan(8.76927321642554)-π/2
    2×1.45725226681716-π/2
    2.91450453363433-1.57079632675     		φ = 1.34370821
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.75410703} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -100.502930°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34370821 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.988809°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14472 KachelY 10121 -1.75410703 1.34370821 -100.502930 76.988809
    Oben rechts KachelX + 1 14473 KachelY 10121 -1.75401116 1.34370821 -100.497437 76.988809
    Unten links KachelX 14472 KachelY + 1 10122 -1.75410703 1.34368662 -100.502930 76.987572
    Unten rechts KachelX + 1 14473 KachelY + 1 10122 -1.75401116 1.34368662 -100.497437 76.987572
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34370821-1.34368662) × R
    2.15900000000158e-05 × 6371000     		dl = 137.5498900001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34370821-1.34368662) × R
    2.15900000000158e-05 × 6371000     		dr = 137.5498900001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.75410703--1.75401116) × cos(1.34370821) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.225141358201541 × 6371000     		do = 137.513588110687m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.75410703--1.75401116) × cos(1.34368662) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.225162393849784 × 6371000     		du = 137.526436427368m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34370821)-sin(1.34368662))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.225141358201541-0.225162393849784)×R²
    abs(-1.75401116--1.75410703)×2.10356482431284e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.10356482431284e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.10356482431284e-05×40589641000000     		ar = 18915.8625609887m²