Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 14471 / 14470
↖ ↑ ↗
← N 70.366783°
W100.508423°		 ← 205.22 m → N 70.366783°
W100.502930°		 →
↑
205.21 m
↓
↑
205.21 m
↓
N 70.364937°
W100.508423°		 ← 205.24 m →
42 116 m²		 N 70.364937°
W100.502930°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14471 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14470 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.220817565917969 y=0.220802307128906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.220817565917969 × 216)
    floor (0.220817565917969 × 65536)
    floor (14471.5)     		tx = 14471
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.220802307128906 × 216)
    floor (0.220802307128906 × 65536)
    floor (14470.5)     		ty = 14470
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 14471 / 14470 ti = "16/14471/14470"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/14471/14470.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14471 ÷ 216
    14471 ÷ 65536     		x = 0.220809936523438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14470 ÷ 216
    14470 ÷ 65536     		y = 0.220794677734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.220809936523438 × 2 - 1) × π
    -0.558380126953125 × 3.1415926535     		Λ = -1.75420290
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.220794677734375 × 2 - 1) × π
    0.55841064453125 × 3.1415926535     		Φ = 1.75429877849558
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.75420290} λ = -1.75420290}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.75429877849558))-π/2
    2×atan(5.77939368559227)-π/2
    2×1.39946418532488-π/2
    2.79892837064975-1.57079632675     		φ = 1.22813204
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.75420290} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -100.508423°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.22813204 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.366783°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14471 KachelY 14470 -1.75420290 1.22813204 -100.508423 70.366783
    Oben rechts KachelX + 1 14472 KachelY 14470 -1.75410703 1.22813204 -100.502930 70.366783
    Unten links KachelX 14471 KachelY + 1 14471 -1.75420290 1.22809983 -100.508423 70.364937
    Unten rechts KachelX + 1 14472 KachelY + 1 14471 -1.75410703 1.22809983 -100.502930 70.364937
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.22813204-1.22809983) × R
    3.2210000000088e-05 × 6371000     		dl = 205.209910000561m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.22813204-1.22809983) × R
    3.2210000000088e-05 × 6371000     		dr = 205.209910000561m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.75420290--1.75410703) × cos(1.22813204) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.3359976743597 × 6371000     		do = 205.223270247343m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.75420290--1.75410703) × cos(1.22809983) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.336028011586679 × 6371000     		du = 205.241799854557m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.22813204)-sin(1.22809983))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.3359976743597-0.336028011586679)×R²
    abs(-1.75410703--1.75420290)×3.03372269792046e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.03372269792046e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.03372269792046e-05×40589641000000     		ar = 42115.7500503254m²