Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 1447 / 692
↖ ↑ ↗
← N 81.595699°
W116.411133°		 ← 714.20 m → N 81.595699°
W116.367187°		 →
↑
714.44 m
↓
↑
714.44 m
↓
N 81.589274°
W116.411133°		 ← 714.74 m →
510 447 m²		 N 81.589274°
W116.367187°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1447 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 692 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.17669677734375 y=0.08453369140625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.17669677734375 × 213)
    floor (0.17669677734375 × 8192)
    floor (1447.5)     		tx = 1447
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.08453369140625 × 213)
    floor (0.08453369140625 × 8192)
    floor (692.5)     		ty = 692
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 1447 / 692 ti = "13/1447/692"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/1447/692.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1447 ÷ 213
    1447 ÷ 8192     		x = 0.1766357421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 692 ÷ 213
    692 ÷ 8192     		y = 0.08447265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.1766357421875 × 2 - 1) × π
    -0.646728515625 × 3.1415926535     		Λ = -2.03175755
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.08447265625 × 2 - 1) × π
    0.8310546875 × 3.1415926535     		Φ = 2.61083530090674
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.03175755} λ = -2.03175755}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.61083530090674))-π/2
    2×atan(13.6104148968761)-π/2
    2×1.49745496438033-π/2
    2.99490992876067-1.57079632675     		φ = 1.42411360
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.03175755} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -116.411133°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.42411360 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.595699°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1447 KachelY 692 -2.03175755 1.42411360 -116.411133 81.595699
    Oben rechts KachelX + 1 1448 KachelY 692 -2.03099056 1.42411360 -116.367187 81.595699
    Unten links KachelX 1447 KachelY + 1 693 -2.03175755 1.42400146 -116.411133 81.589274
    Unten rechts KachelX + 1 1448 KachelY + 1 693 -2.03099056 1.42400146 -116.367187 81.589274
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.42411360-1.42400146) × R
    0.000112140000000149 × 6371000     		dl = 714.443940000951m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.42411360-1.42400146) × R
    0.000112140000000149 × 6371000     		dr = 714.443940000951m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.03175755--2.03099056) × cos(1.42411360) × R
    0.000766990000000245 × 0.146157292456126 × 6371000     		do = 714.196628871655m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.03175755--2.03099056) × cos(1.42400146) × R
    0.000766990000000245 × 0.146268227306236 × 6371000     		du = 714.738711272344m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.42411360)-sin(1.42400146))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.146157292456126-0.146268227306236)×R²
    abs(-2.03099056--2.03175755)×0.000110934850109878×R²
    0.000766990000000245×0.000110934850109878×6371000²
    0.000766990000000245×0.000110934850109878×40589641000000     		ar = 510447.097743826m²