Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 14469 / 14735
↖ ↑ ↗
← N 69.871782°
W100.519409°		 ← 210.19 m → N 69.871782°
W100.513916°		 →
↑
210.18 m
↓
↑
210.18 m
↓
N 69.869892°
W100.519409°		 ← 210.20 m →
44 179 m²		 N 69.869892°
W100.513916°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14469 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14735 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.220787048339844 y=0.224845886230469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.220787048339844 × 216)
    floor (0.220787048339844 × 65536)
    floor (14469.5)     		tx = 14469
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.224845886230469 × 216)
    floor (0.224845886230469 × 65536)
    floor (14735.5)     		ty = 14735
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 14469 / 14735 ti = "16/14469/14735"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/14469/14735.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14469 ÷ 216
    14469 ÷ 65536     		x = 0.220779418945312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14735 ÷ 216
    14735 ÷ 65536     		y = 0.224838256835938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.220779418945312 × 2 - 1) × π
    -0.558441162109375 × 3.1415926535     		Λ = -1.75439465
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.224838256835938 × 2 - 1) × π
    0.550323486328125 × 3.1415926535     		Φ = 1.72889222169695
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.75439465} λ = -1.75439465}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.72889222169695))-π/2
    2×atan(5.6344087741643)-π/2
    2×1.39514448820217-π/2
    2.79028897640434-1.57079632675     		φ = 1.21949265
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.75439465} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -100.519409°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.21949265 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.871782°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14469 KachelY 14735 -1.75439465 1.21949265 -100.519409 69.871782
    Oben rechts KachelX + 1 14470 KachelY 14735 -1.75429878 1.21949265 -100.513916 69.871782
    Unten links KachelX 14469 KachelY + 1 14736 -1.75439465 1.21945966 -100.519409 69.869892
    Unten rechts KachelX + 1 14470 KachelY + 1 14736 -1.75429878 1.21945966 -100.513916 69.869892
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.21949265-1.21945966) × R
    3.29900000000105e-05 × 6371000     		dl = 210.179290000067m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.21949265-1.21945966) × R
    3.29900000000105e-05 × 6371000     		dr = 210.179290000067m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.75439465--1.75429878) × cos(1.21949265) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.344122154126138 × 6371000     		do = 210.185603126295m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.75439465--1.75429878) × cos(1.21945966) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.344153129070886 × 6371000     		du = 210.204522243724m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.21949265)-sin(1.21945966))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.344122154126138-0.344153129070886)×R²
    abs(-1.75429878--1.75439465)×3.09749447487406e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.09749447487406e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.09749447487406e-05×40589641000000     		ar = 44178.6490406383m²