Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 14468 / 10371
↖ ↑ ↗
← N 76.675988°
W100.524903°		 ← 140.78 m → N 76.675988°
W100.519409°		 →
↑
140.74 m
↓
↑
140.74 m
↓
N 76.674722°
W100.524903°		 ← 140.79 m →
19 813 m²		 N 76.674722°
W100.519409°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14468 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10371 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.220771789550781 y=0.158256530761719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.220771789550781 × 216)
    floor (0.220771789550781 × 65536)
    floor (14468.5)     		tx = 14468
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.158256530761719 × 216)
    floor (0.158256530761719 × 65536)
    floor (10371.5)     		ty = 10371
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 14468 / 10371 ti = "16/14468/10371"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/14468/10371.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14468 ÷ 216
    14468 ÷ 65536     		x = 0.22076416015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10371 ÷ 216
    10371 ÷ 65536     		y = 0.158248901367188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.22076416015625 × 2 - 1) × π
    -0.5584716796875 × 3.1415926535     		Λ = -1.75449053
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.158248901367188 × 2 - 1) × π
    0.683502197265625 × 3.1415926535     		Φ = 2.1472854815808
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.75449053} λ = -1.75449053}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.1472854815808))-π/2
    2×atan(8.5615862415703)-π/2
    2×1.45452238390358-π/2
    2.90904476780716-1.57079632675     		φ = 1.33824844
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.75449053} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -100.524903°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33824844 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.675988°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14468 KachelY 10371 -1.75449053 1.33824844 -100.524903 76.675988
    Oben rechts KachelX + 1 14469 KachelY 10371 -1.75439465 1.33824844 -100.519409 76.675988
    Unten links KachelX 14468 KachelY + 1 10372 -1.75449053 1.33822635 -100.524903 76.674722
    Unten rechts KachelX + 1 14469 KachelY + 1 10372 -1.75439465 1.33822635 -100.519409 76.674722
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33824844-1.33822635) × R
    2.20900000000857e-05 × 6371000     		dl = 140.735390000546m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33824844-1.33822635) × R
    2.20900000000857e-05 × 6371000     		dr = 140.735390000546m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.75449053--1.75439465) × cos(1.33824844) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.230457572618018 × 6371000     		do = 140.775349310832m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.75449053--1.75439465) × cos(1.33822635) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.230479067951438 × 6371000     		du = 140.788479767064m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33824844)-sin(1.33822635))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.230457572618018-0.230479067951438)×R²
    abs(-1.75439465--1.75449053)×2.14953334192192e-05×R²
    9.58799999999371e-05×2.14953334192192e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×2.14953334192192e-05×40589641000000     		ar = 19812.9976484219m²