Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14466 / 20387
↖ ↑ ↗
← S 40.204050°
W 21.071777°		 ← 932.98 m → S 40.204050°
W 21.060791°		 →
↑
932.97 m
↓
↑
932.97 m
↓
S 40.212441°
W 21.071777°		 ← 932.86 m →
870 387 m²		 S 40.212441°
W 21.060791°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14466 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20387 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.441482543945312 y=0.622177124023438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.441482543945312 × 215)
    floor (0.441482543945312 × 32768)
    floor (14466.5)     		tx = 14466
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.622177124023438 × 215)
    floor (0.622177124023438 × 32768)
    floor (20387.5)     		ty = 20387
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14466 / 20387 ti = "15/14466/20387"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14466/20387.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14466 ÷ 215
    14466 ÷ 32768     		x = 0.44146728515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20387 ÷ 215
    20387 ÷ 32768     		y = 0.622161865234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.44146728515625 × 2 - 1) × π
    -0.1170654296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.36777189
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.622161865234375 × 2 - 1) × π
    -0.24432373046875 × 3.1415926535     		Φ = -0.767565636716339
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.36777189} λ = -0.36777189}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.767565636716339))-π/2
    2×atan(0.464141583375088)-π/2
    2×0.4345516371278-π/2
    0.869103274255599-1.57079632675     		φ = -0.70169305
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.36777189} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.071777°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.70169305 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -40.204050°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14466 KachelY 20387 -0.36777189 -0.70169305 -21.071777 -40.204050
    Oben rechts KachelX + 1 14467 KachelY 20387 -0.36758015 -0.70169305 -21.060791 -40.204050
    Unten links KachelX 14466 KachelY + 1 20388 -0.36777189 -0.70183949 -21.071777 -40.212441
    Unten rechts KachelX + 1 14467 KachelY + 1 20388 -0.36758015 -0.70183949 -21.060791 -40.212441
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.70169305--0.70183949) × R
    0.00014643999999997 × 6371000     		dl = 932.969239999808m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.70169305--0.70183949) × R
    0.00014643999999997 × 6371000     		dr = 932.969239999808m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.36777189--0.36758015) × cos(-0.70169305) × R
    0.000191739999999996 × 0.763750398871614 × 6371000     		do = 932.978805926787m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.36777189--0.36758015) × cos(-0.70183949) × R
    0.000191739999999996 × 0.763655861952434 × 6371000     		du = 932.863321938689m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.70169305)-sin(-0.70183949))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.763750398871614-0.763655861952434)×R²
    abs(-0.36758015--0.36777189)×9.45369191803769e-05×R²
    0.000191739999999996×9.45369191803769e-05×6371000²
    0.000191739999999996×9.45369191803769e-05×40589641000000     		ar = 870386.657552831m²