Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14465 / 7040
↖ ↑ ↗
← N 71.074057°
W 21.082764°		 ← 396.23 m → N 71.074057°
W 21.071777°		 →
↑
396.28 m
↓
↑
396.28 m
↓
N 71.070493°
W 21.082764°		 ← 396.31 m →
157 032 m²		 N 71.070493°
W 21.071777°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14465 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7040 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.441452026367188 y=0.214859008789062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.441452026367188 × 215)
    floor (0.441452026367188 × 32768)
    floor (14465.5)     		tx = 14465
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.214859008789062 × 215)
    floor (0.214859008789062 × 32768)
    floor (7040.5)     		ty = 7040
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14465 / 7040 ti = "15/14465/7040"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14465/7040.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14465 ÷ 215
    14465 ÷ 32768     		x = 0.441436767578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7040 ÷ 215
    7040 ÷ 32768     		y = 0.21484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.441436767578125 × 2 - 1) × π
    -0.11712646484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.36796364
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.21484375 × 2 - 1) × π
    0.5703125 × 3.1415926535     		Φ = 1.79168956019922
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.36796364} λ = -0.36796364}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.79168956019922))-π/2
    2×atan(5.99958056048846)-π/2
    2×1.40563631240615-π/2
    2.81127262481229-1.57079632675     		φ = 1.24047630
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.36796364} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.082764°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.24047630 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.074057°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14465 KachelY 7040 -0.36796364 1.24047630 -21.082764 71.074057
    Oben rechts KachelX + 1 14466 KachelY 7040 -0.36777189 1.24047630 -21.071777 71.074057
    Unten links KachelX 14465 KachelY + 1 7041 -0.36796364 1.24041410 -21.082764 71.070493
    Unten rechts KachelX + 1 14466 KachelY + 1 7041 -0.36777189 1.24041410 -21.071777 71.070493
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.24047630-1.24041410) × R
    6.22000000001233e-05 × 6371000     		dl = 396.276200000785m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.24047630-1.24041410) × R
    6.22000000001233e-05 × 6371000     		dr = 396.276200000785m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.36796364--0.36777189) × cos(1.24047630) × R
    0.000191749999999991 × 0.324345770694955 × 6371000     		do = 396.233524052437m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.36796364--0.36777189) × cos(1.24041410) × R
    0.000191749999999991 × 0.324404607447958 × 6371000     		du = 396.305401339248m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.24047630)-sin(1.24041410))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.324345770694955-0.324404607447958)×R²
    abs(-0.36777189--0.36796364)×5.88367530029998e-05×R²
    0.000191749999999991×5.88367530029998e-05×6371000²
    0.000191749999999991×5.88367530029998e-05×40589641000000     		ar = 157032.156903762m²